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Sosprepa

Invité

Inéquation de modules de complexes

Bonjour, je suis en Prépa Maths et j'ai un exercice qui me pose un sérieux problème,

"Soit a [tex] \in \mathbb{C}\,tel\,que\,|a|<1 [/tex]

Déterminer les z tels que [tex]\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\leq 1 [/tex] "

Mon petit doigt me dit qu'il faudra utiliser à un moment les inégalités triangulaires, mais jamais je n'aboutis à un résultat logique...

Sosprepa

Invité

Re : Inéquation de modules de complexes

Voici les calculs les plus correct que j'ai fais selon moi:
[tex] \left|z-a\right|=\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\left|1-\bar{a}z\right|[/tex]                                     

[tex]{e}^{i\theta }_{}\left(z-a\right)\,=\,\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|{e}^{i\theta }_{}\left(1-\bar{a}z\right)[/tex]

[tex]z{e}^{i\theta }_{}+\,z\bar{a}{e}^{i\theta '}_{}\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\,=\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\,{e}^{i\theta '}_{}+\,a\,{e}^{i\theta }_{}[/tex]

[tex]\left|z\right|\,= \left|\frac{\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\,{e}^{i\theta '}_{}+\,a\,{e}^{i\theta }_{}}{{e}^{i\theta }_{}+\,\bar{a}{e}^{i\theta '}_{}\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\,}\right|[/tex]

Or avec l'inégalité triangulaire,

[tex]0 \leq\left|z\right|\leq \left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|+\left|a\right|\leq 2[/tex]

Saphiraméthyste

Membre

Inscription : 27-08-2011

Messages : 23

Re : Inéquation de modules de complexes

Salut
on peut etablir

[tex]  \left|  \frac{ z-a }{1 \  - \   \bar az   }  \right|  \  \equiv \   \left| z-a \right|  \  . \   \left| 1 \  - \   \bar  az \right| ^{-1} \   \leq  \  1 [/tex]

ensuite en posant  [tex] h \  = \   \frac{ z }{ a }  [/tex]

on obtiens  [tex]  \bar a z \  = \   \left| a \right|^2h    [/tex]
ensuite utiliser la propriete  [tex] arg   \left( -\bar a z \right) \  = \  arg  \left( \bar a z \right) \  - \  \pi     [/tex]
tout deviens plus simple ensuite à mon avis
Excuses pour ma part j'avais mis egal

Dernière modification par Saphiraméthyste (26-09-2011 01:46:17)

Fred

Administrateur

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Messages : 7 349

Re : Inéquation de modules de complexes

Hello,

  C'est un exo très astucieux, dont voici la clé :
tu écris :
[tex] \left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\leq 1 \iff \left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2\leq 1 [/tex]

Ensuite, tu calcules
[tex]1-\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2[/tex] et tu trouves :
[tex]\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\bar a z|^2}[/tex]

Tu veux donc que cette quantité soit positive. Vois-tu maintenant comment discuter?  (le disque unité joue un très grand rôle...)

Fred.

SOprepa

Invité

Re : Inéquation de modules de complexes

Merci beaucoup, j'ai enfin compris, donc on met sous le même dénominateur puis on passe de [tex]{\left|z\right|}^{2}=z\bar{z}[/tex] et on regroupe les [tex]a\bar{a}={\left|a\right|}^{2}[/tex] [tex]z\bar{z}={\left|z\right|}^{2}[/tex]
Par contre après c'est la formule magique : "1-a-b+ab = (1-a)(1-b)" je connaissais pas :)

Donc on trouve |z|< 1 Soit z appartient au disque de centre O de diamètre 1.

Merci, je n'y serai jamais arrivé tout seul...

Fred

Administrateur

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Re : Inéquation de modules de complexes

Merci, je n'y serai jamais arrivé tout seul...

Ne t'inquiète pas, je pense que peu d'élèves de prépa en sont capables....