Définition de la continuité.

alain01 · 20-09-2011 01:19:27

Bonjour à tous.
Ce n'est pas un exercice mais un théorème qui me pose un petit problème.
Les conditions d'application du théorème des valeurs intermédiaires sont:f définie et continue sur un intervalle I.
Pourquoi définie et continue?Existerait-il des fonctions non définies pour ceraines valeurs et cependant continues en ces points?Aurait-on pu dire seulement:f continue sur I sans mentionner définie?

alain01 · 20-09-2011 01:27:58

Pardon,j'ai omis une autre petite question.
Pourquoi dit-on que f est continue en a sur [a;b] sans étudier la continuité à gauche?
Cet oubli m'a perturbé et une bourde n'arrive jamais seule!
Merci de m'aider.

freddy · 20-09-2011 06:51:30

Salut,

avant d'être continue en un point [tex]x_0[/tex], il faut vérifier que [tex]f(x_0)[/tex] existe, donc que f soit définie en ce point. Sinon, inutile de chercher quoi que ce soit plus loin.

Conseil : reprends la définition de la continuité, tu verra pourquoi [tex]f(x_0)[/tex] doit exister.

Si f est continue en a, elle est nécessairement continue à droite et à gauche de a.

C'est OK pour toi ?

Fred pourra ajouter un point supplémentaire sans problème, c'est une question importante.

Bis bald

Fred · 20-09-2011 12:36:52

Re-

Oui, dans défini et continu sur I, on peut oublier sans problème le défini.
Par ailleurs, quand on dit que f est continu sur [a,b], on sous-entend la continuité à droite en a et celle à gauche en b.
Puisque f n'est pas défini à gauche de a, c'est en réalité pareil que d'être continu en a.

Fred.

alain01 · 21-09-2011 02:56:17

Bonjour Freddy et Fred.
Je suis désolé Fred,je n'ai pas saisi ta dernière phrase.Je n'arrive pas à poser des questions claires ni d'ailleurs à rédiger
des réponses claires(Yoshi m'a fait une remarque à ce sujet).
C'est le parallèle avec la dérivabilité qui m'a fait poser cette question.Dans la dérivabilité un intervalle fermé DEVIENT ouvert.Toute fonction dérivable sur I est continue sur I.La réciproque n'est pas toujours vraie.Si I=]a;b[ intervalle de dérivabilité de f,l'intervalle de continuité sera fermé si f'(a) à droite et f'(b) à gauche existent?Dans le cas contraire faut-il alors étudier la continuité à droite de a et à gauche de b?
Je vous remercie infiniment de votre compréhension.

Fred · 21-09-2011 12:23:03

Re-

Bonjour, je ne comprends pas ce que tu signifies par :
"Dans la dérivabilité un intervalle fermé DEVIENT ouvert"

Fred.

alain01 · 22-09-2011 01:40:20

Bonjour.
La fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par:

[tex]\begin{cases}f(x)=x^2-1\;si\; x\in]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\\f(x)=-x^2+1 \;si\; x\in[-1;1]\end{cases}[/tex].
Sa dérivée est :

[tex]\begin{cases}f'(x)=2x\; si\; x\in]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\\f'(x)=-2x^; si \; x\in]-1;1[\end{cases}[/tex].

Si mes réponses sont tardives,c'est que je travaille la nuit.Merci beaucoup.

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