Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alain01

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Continuité d'une fonction.

Bonjour à tous.
f est une fonction définie et continue sur [a;b] avec f(a)<ab et f(b)>b².Montrer qu'il existe un réel c appartenant à [a;b] tel que f(c)=bc.
Solution proposée.On suppose que f(a)<f(b).
Comme f est définie et continue sur [a;b],[tex]\forall{k}\in[f(a);f(b)] \exists {c}\in[a;b] tel que f(c)=k[/tex].
C'est le théorème des valeurs intermédiaires.

En supposant b>0 on a donc a<c<b[tex]\Rightarrow[/tex]ab<bc<b² et comme f(a)<ab et f(b)>b² il vient :
f(a)<ab<bc<b²<f(b) et d'après le TVI f(a)<k<f(b) on en déduit qu'on peut avoir k=bc=f(c).

Quand je suppose b<0,je n'y arrive pas.
En effet si b<0 on a toujours a<c<b et en multipliant par b on trouve b²<bc<ab et on a par hypothèses f(a)<ab et
f(b)>b² il s'offre à moi plusieurs cas dont celui-ci f(a)<b²<f(b)<ab ou on peut intercaler bc et f(c) comme ça:
f(a)<b²<f(c)<f(b)<bc<ab qui ne prouve pas l'existence f(c)=k=bc.
Je vous prie de m'aider.

Fred

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Re : Continuité d'une fonction.

Bonjour,

  C'est plus facile que ce que tu cherches à faire, si on pense à poser la bonne fonction. Pose en effet :
[tex]g(x)=f(x)-bx[/tex].
On peut directement lui appliquer le théorème des valeurs intermédiaires....

Fred.

Golgup

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Re : Continuité d'une fonction.

salut

alain,  déjà, de f(a)<ab et f(b)>b² il découle f(a)<f(b) , donc tu n'as pas besoin de le supposer.

ensuite

En supposant b>0 on a donc a<c<b⇒ab<bc<b² et comme f(a)<ab et f(b)>b² il vient :
f(a)<ab<bc<b²<f(b) et d'après le TVI f(a)<k<f(b) on en déduit qu'on peut avoir k=bc=f(c).

attention, ici tu montres seulement que pour tout x tq a<x<b,  f(a)<bx<f(b) et non pas que f(x)=bx

alain01

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Re : Continuité d'une fonction.

Bonjour Fred et Golgup.
Effectivemment Fred,en  applquant le TVI à g(x)=f(x)-bx (car on me demande de montrer f(c)=bc[tex]\Leftrightarrow[/tex]f(c)-bc=0 de là l'origine de g(x)=f(x)-bx) d'ou g(a)=f(a)-ba[tex]\Rightarrow[/tex]g(a)<0 et après j'ai écrit g(b).......et bien sur je n'ai pas oublié g continue.
Un grand Merci à vous deux.