Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ppé

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Loi de composition interne

bonjour à tous
Je cherche à trouve le nombre de loi de composition interne sur un ensemble E fini à n élements.

Et j'ai trouvé n exposant n au carré.J'aimerais savoir si c'est le bon résultat.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Loi de composition interne

Bonsoir,

Bienvenue sur BibM@th...

Et j'ai trouvé n exposant n au carré

Ambigü...
S'agit-il de [tex](n^n)^2[/tex] ou de [tex]n^{n^2}[/tex] ?

Quant à ta question...
Je n'en ai aucune idée et ça demande intense réflexion...
Tu dis

le nombre de lois de composition interne

A priori, je ne suis pas si sûr que ça que ce nombre soit unique...
Peut-être voulais-tu dire : le nombre maximum de lois de composition interne ?

@+

freddy

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Re : Loi de composition interne

Bonsoir,

Bienvenue sur BibM@th...

Et j'ai trouvé n exposant n au carré

Ambigü...
S'agit-il de [tex](n^n)^2[/tex] ou de [tex]n^{n^2}[/tex] ?

Quant à ta question...
Je n'en ai aucune idée et ça demande intense réflexion...
Tu dis

le nombre de lois de composition interne

A priori, je ne suis pas si sûr que ça que ce nombre soit unique...
Peut-être voulais-tu dire : le nombre maximum de lois de composition interne ?

@+

Salut,

seconde écriture yoshi, car c'est le nombre d'application de ExE dans E.

Ppé

Membre

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Re : Loi de composition interne

Bonjour
Salut  yoshi et merci.Ils'agit en effet de la deuxième écriture comme l'a dit freddy

Voici en fait la question: Combien y a t'il de lois de composition interne sur un ensemble fini .
Pour trouver la réponse je suis parti de la définition de loi de composition interne et j'ai ensuite appliqué la formule de detemination du nombre total d'application d'un ensemble E dans un autre ensemble F.
     La réponse m'a un peu inquièté,c'est juste pour ça que j'aimerais avoir un peu plus d'éclaircissement

                    Merci

TicToc

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Re : Loi de composition interne

Salut!

Je suis d'accord avec n^{n^2}. En effet, on peut voir le problème d'une autre manière. Il y a n^2 éléments dans E x E. A chaque couple d'élements de E x E, je tire un élément dans E (pour fournir une valeur à l'application correspondant au couple de E x E fixé). Le problème est donc le même que déterminer le nombre de possibilités de tirer une boule parmi n boules et ce n^2 fois (avec remise, et l'ordre de tirage est important). Les formules d'analyse combinatoire fournissent le résultat.

Sauf erreur.

Saphiraméthyste

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Re : Loi de composition interne

Salut!

Je suis d'accord avec n^{n^2}. En effet, on peut voir le problème d'une autre manière. Il y a n^2 éléments dans E x E. A chaque couple d'élements de E x E, je tire un élément dans E (pour fournir une valeur à l'application correspondant au couple de E x E fixé). Le problème est donc le même que déterminer le nombre de possibilités de tirer une boule parmi n boules et ce n^2 fois (avec remise, et l'ordre de tirage est important). Les formules d'analyse combinatoire fournissent le résultat.

Sauf erreur.

Je confirme effectivement le nombre de L.C.I. que l'on peut etablir sur un ensemble E de cardinal n est donné par l'expression:
[tex]n^{n^2}[/tex] etant donné qu'une L.C.I. est une application [tex]E^2[/tex] -> E et que la quantité d'application que l'on peut etablir entre deux ensembles A et B de cardinaux respectivement a et b est donné par l'expression:

[tex]b^a[/tex] le cardinal de [tex]E^2[/tex] etant [tex]n^2[/tex]

à ce propos si cela vous interesse:

Des L.C.I. pour des extrapolations

Il s'agit d'une infinité de L.C.I. dans [tex]\mathbb{R}[/tex] telles que si l'on note * l'une quelconque de ces L.C.I. sa propriété est definie par:

*reflexivité [tex]\forall [/tex]x [tex]\in\mathbb{R}[/tex] on obtiens x * x = x

*non commutativité[tex]\forall [/tex]x  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],[tex]\exists [/tex]y [tex]\in\mathbb{R}[/tex]  tel que x * y  [tex]\neq[/tex] y * x

proprieté selon:

[tex]\forall [/tex]x  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],[tex]\forall [/tex]y [tex]\in\mathbb{R}[/tex] on obtiens:
x + y = ( x * y ) + ( y * x )

*l'addition est distributive par rapport à cette loi[tex]\forall [/tex]x  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],[tex]\forall [/tex]y [tex]\in\mathbb{R}[/tex], [tex]\forall [/tex]z  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],on obtiens:
( x * y ) + z = ( x + z ) * ( y + z )

*le produit est distributif par rapport à cette loi[tex]\forall [/tex]x  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],[tex]\forall [/tex]y [tex]\in\mathbb{R}[/tex], [tex]\forall [/tex]z  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],on obtiens:
( x * y ) . z = ( x . z ) * ( y . z )

*cette loi est auto-distributive[tex]\forall [/tex]x  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],[tex]\forall [/tex]y [tex]\in\mathbb{R}[/tex], [tex]\forall [/tex]z  [tex]\in\mathbb{R}[/tex],on obtiens:
( x * y ) * z = ( x * z ) * ( y * z )

étant donné qu'ici je définis une infinité de ces L.C.I. dans [tex]\mathbb{R}[/tex]  ayants toutes ces mêmes propriétés(attention cela signifie que je peut uniquement que conjecturer que je les definis toutes mais cela reste qu'une conjecture sans l'ombre d'aucune preuve)
Chacune de ces L.C.I. sont notées *t où t designe un réel strictement positif et non égal à 1
de sorte que : x *p y  et  x *q y designent deux L.C.I. differentes pour lorsque p[tex]\neq[/tex]q
par contre leurs propriétés décrites plus haut sont identiques

La moyenne arithmético-geometrique(rapide rappel)

Soient deux réels strictements positifs a , b on considère leur moyenne arithmético-géométrique que l'on note:

M(a,b) et pour simplifier on note: M(x) = M(1,x)

la valeur M(a,b) est par définition la limite commune de deux suites adjacentes [tex](a_n)[/tex] et [tex](b_n)[/tex]definies en posant [tex]a_0[/tex] = a  et  [tex]b_0[/tex] = b

et pour [tex]\forall [/tex]i  [tex]\in\mathbb{N}[/tex],on obtiens:

[tex]a_{i+1}[/tex]=[tex]\frac {a_i+b_i}{2}[/tex] et [tex]b_{i+1}[/tex]=[tex]\sqrt {a_i.b_i}[/tex]
par symétrie si l'on pose 0 < b [tex]\leq[/tex] a on obtiens:

0 < [tex]b_i[/tex][tex]\leq[/tex][tex]b_{i+1}[/tex][tex]\leq[/tex][tex]a_{i+1}[/tex][tex]\leq[/tex][tex]a_i[/tex]

on obtiens: M(a,a) = a , M(a,b) = M(b,a) , M(a,b) = M( [tex]\frac {a + b}{2},\sqrt {a .b}[/tex] )
M( a.c , b.c ) = c . M (a,b)

et selon la notation M(x) = M(1,x) on obtiens M(1/x) = M(x) / x

Construction des L.C.I.

Il s'agit de construire ces L.C.I. dans  [tex]\mathbb{R}[/tex]  ayants toutes les mêmes propriétés décrites plus haut et où chacune de ces L.C.I. est notées *t où t designe un réel strictement positif et non égal à 1

x *t y = z où z est la valeur vers laquelle converge la suite définie selon: lim n [tex]\rightarrow\infty[/tex] , [tex]z_n[/tex] = z

*lorsque x [tex]\leq[/tex] y on pose: j = 1 et [tex]z_0[/tex] = x + M( t.y - t.x , y - x )

*lorsque x [tex]\geq[/tex] y on pose: j = -1 et [tex]z_0[/tex] = x - M( t.x - t.y , x - y )

puis on détermine [tex]z_1[/tex] = x + j.M( | x + [tex]\frac {y}{2}[/tex] - [tex]\frac {3.z_0}{2}[/tex] | , | x - [tex]z_0[/tex] | )

et puis pour  [tex]\forall [/tex]i [tex]\geq[/tex]2 on etablit:

[tex]z_i[/tex] = x + j.M( | x - [tex]z_{i-1}[/tex] + [tex]\frac {z_{i-2}-z_{i-1}}{(i+1)!}[/tex] | , | x - [tex]z_{i-1}[/tex] | )

*lorsque 0 < t < 1 et x < y on obtiens: x <   x *t y  < y

*lorsque 0 < t < 1 et x > y on obtiens: x >   x *t y  > y

*lorsque t > 1 et x < y on obtiens: x <  y <  x *t  y

*lorsque t > 1 et x > y on obtiens: x >  y >  x *t  y

Extrapolations
on dispose d'une suite [tex](u_n)[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] dont on désire extrapoler les valeurs suivantes [tex]u_{n+i}[/tex]

partant depuis [tex]u_0[/tex] et [tex]u_1[/tex] on ajuste la valeur t de telle maniere que:

[tex]u_2[/tex]= [tex]u_0[/tex] *[tex]t_1[/tex] [tex]u_1[/tex]

[tex]u_3[/tex]= [tex]u_1[/tex] *[tex]t_2[/tex] [tex]u_2[/tex]

...

[tex]u_i[/tex]= [tex]u_{i-2}[/tex] *[tex]t_{i-1}[/tex] [tex]u_{i-1}[/tex]

Ainsi donc on a construit une suite [tex](t_n)[/tex] que l'on peut extrapoler en utilisant la même méthode afin d'extrapoler la suite initiale [tex](u_n)[/tex]