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chninkel33

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sous-espaces propres

Question surement très bete mais en ecrivant les choses, je tourne en rond et n'arrive a montrer le résultat suivant :

Si λ1 , ... , λp sont des valeurs propres distinctes deux à deux de u alors la somme ker (u - λ1.Id) + ... + ker (u - λp.Id) est directe.

Merci d'avance!

Magny

Invité

Re : sous-espaces propres

Bonjour...

On suppose que [tex]\sum_{i=1}^P Ker(u-\lambda_i Id)[/tex] n'est pas en somme directe, un élément [tex]x[/tex] de cet ensemble peut s'écrire [tex]x = \sum a_i = \sum b_i[/tex] avec [tex]a_i[/tex] et [tex]b_i[/tex] dans [tex]Ker(u-\lambda_i Id)[/tex].

[tex]0 = x - x = \sum_{i=1}^P a_i - b_i[/tex].

[tex]0 = u(x) - u(x) = \sum_{i=1}^P \lambda_i (a_i - b_i )[/tex].

[tex]0 = u^2(x) - u^2(x) = \sum_{i=1}^P {\lambda_i}^2 (a_i - b_i )[/tex].

...

[tex]0 = u^P(x) - u^P(x) = \sum_{i=1}^P {\lambda_i}^P (a_i - b_i )[/tex].

On peut multiplier la première équation par [tex]\lambda_P[/tex]. On retranche ça à la deuxième et on trouve :

[tex]0 = \sum_{i=1}^{P-1} (\lambda_i - \lambda_P) (a_i - b_i )[/tex].

Par récurrence on tombe sur le résultat à première vue...

chninkel33

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Re : sous-espaces propres

Merci bien pour ton aide, je vais regarder ca!