Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Groupoid Kid

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Cardinal d'un carré infini

Salut à tous, amis des maths ! (et les autres aussi, hein, pas de favoritisme ^^)

Je viens z'à vous pour me remettre en mémoire quelques petites choses sur les ordinaux et les cardinaux, ici il sera en particulier question de carrés d'ensembles. Je suppose que vous connaissez tous ce théorème élémentaire :

Théorème :
Si E et F sont deux ensembles finis, alors on a l'égalité de cardinaux [tex]|E\times F|=|E|\cdot|F|[/tex]

duquel s'ensuit en particulier qu'un ensemble fini d'au moins 2 éléments n'est jamais équipotent à son carré. En revanche, il est également bien connu que :

Théorème :
[tex]\mathbb{N}[/tex] est équipotent à son carré (facile)
[tex]\mathbb{R}[/tex] est équipotent à son carré (un peu plus dur)

Mais le plus souvent, ces démonstrations sont faites à la main, si bien que beaucoup ignorent que ce sont des cas particuliers d'un théorème plus général (parfois bien utile) :

Théorème :
Tout ensemble infini est équipotent à son carré (vachement balèze)

Je connais une démonstration de ce théorème (ou du moins, j'ai su faire il y a longtemps, à coup de récurrence transfinie), mais elle fait appel à l'axiome du choix. Je me demandais si certains d'entre vous connaissaient ce théorème, et le cas échéant une preuve sans axiome du choix, ou bien son statut vis-à-vis de ce dernier (équivalence / implication).

De nos jours les jeunes ils font de l'[tex]\Omega[/tex]-logique au forcing et de la théorie de la démonstration, mais ils savent plus compter jusqu'à l'infini ^^
GK

PS: j'ignore si j'ai posté au bon endoit, mais rien qu'en terme de bizarrerie ça me semble bien placé ici ^^

Dernière modification par Groupoid Kid (01-06-2011 18:50:40)

Fred

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Re : Cardinal d'un carré infini

Salut,

  Est-ce que ceci répond à ta question?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordinal_de … t_cardinal

Il semble que ce soit équivalent à l'axiome du choix d'après un théorème de Tarski (et Hutch...ok, je sors).

Fred.

Groupoid Kid

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Re : Cardinal d'un carré infini

\(^-^)/

Effectivement, ça répond à ma question ! Il y a même la démonstration dans l'article, que demande le peuple. Pas de preuve sans axiome du choix donc...

Merci beaucoup Fred !