[Résolu] Suites Numériques

yahya · 03-05-2011 01:12:35

Bonsoir,
j'ai un problème dans l'exercice que voici:

Soit [tex]\left({U}_{n}\right)[/tex] la suite définie par: [tex]{U}_{0}=2,\;\forall \,n\,\in \,\mathbb{N}[/tex] [tex]{U}_{n+1}=3{U}_{n}-{n}^{2}+n[/tex]
1. Déterminer un polynôme du second degré P tel que la suite de terme général [tex]{a}_{n}=\,P\left(n\right)[/tex].
Vérifier la relation de récurrence précédente.
2. Démontrer que la suite [tex]{V}_{n}=\,{U}_{n}-\,{a}_{n}[/tex] est une suite géométrique, préciser les éléments caractéristiques.
3. Exprimer [tex]{V}_{n}[/tex] puis [tex]{U}_{n}-{a}_{n}[/tex] en fonction de n.
4. Étudier la convergence de [tex]({V}_{n})[/tex] et [tex]({U}_{n}).[/tex]

Merci d'avance pour toute aide concernant cet exercice que j'arrive pas
à faire après avoir essayer à plusieurs reprises.

freddy · 03-05-2011 06:40:08

Bonjour,

et félicitations pour la qualité de la rédaction de la demande d'aide ! Il y a toutefois quelques points obscurs qu'on peut, à l'expérience, corriger.

Souvent, en développant les premiers termes de la suite, on intuite la réponse à la question. La vérification par récurrence achève la démonstration.

On a :

[tex]U_0=2,\;U_1=3\times U_0,\;U_2=3^2\times U_0 -1^2+1,\;U_3= 3^3\times U_0-2^2+2,\;\cdots[/tex]

On peut conjecturer que [tex]U_{n+1}=3^{n+1}\times U_0-n^2+n[/tex] est le terme général recherché. Je te laisse faire le lien avec le polynôme P et la suite de l'exo.

Yoshi t'aidera en mon absence.

Bis bald !

MOHAMED_AIT_LH · 03-05-2011 09:00:55

Bonjour,

Pour la première question Essaye de nommer le polynôme que tu cherches par exemple : [tex]P(X)=aX^2+bX+c[/tex]
Alors [tex]a_n=P(n)=an^2+bn+c[/tex].
Tu exploites le fait que la suite [tex](a_n)[/tex] verifie la relation de récurrence [tex]a_{n+1}= 3a_n-n^2 + n[/tex] pour tout [tex]n \in {\mathbb N}[/tex] que tu mettras sous la forme [tex]An^2+Bn+C=0[/tex] où [tex]A,B,C[/tex] dépendent linéairement de [tex]a,b,c[/tex] et tu obtiens un systéme linéaire dont les inconnues sont [tex]a,b,c[/tex] , à savoir, : [tex]\left\{\begin{array}{l}A=0\\B=0 \\C=0\end{array} \right.[/tex]
En le résolvant tu obtient les valeurs de [tex]a,b,c[/tex]

Les remarquesb de freddy sont à méditer (pas dans cet exo uniquement mais en général)

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (03-05-2011 09:02:20)

yoshi · 03-05-2011 09:41:12

RE,,

Bonjour yahya et bienvenue sur BibM@th...
Pas évident comme exo...

freddy a écrit :

On peut conjecturer que [tex]U_{n+1}=3^{n+1}\times U_0-n^2+n[/tex] est le terme général recherché.

Bin non (ça marche pourtant jusqu'à U4)...
Les premières valeurs de U sont :
2, 6, 18, 52, 150, 438

Je prends U5.
Avec ta formule, freddy (U5 correspondant à n = 4), on obtiendrait :
[tex]2\times 3^{4+1}-4^2+4= 2\times 243 -16 + 4 = 486 - 12 = 474[/tex]
Or, [tex]3\times 150 - 4^2 + 4 = 450 - 12 = 438[/tex]...

Je cherche...

@+

[EDIT]Tiens, notre ami Mohamed a posté entre temps...
Salut à toi

Dernière modification par yoshi (03-05-2011 09:43:01)

freddy · 03-05-2011 10:00:58

Re,

ouaip, je suis le roi des crétins ! Moi, c'est le matin que je ne suis pas très frais :-)))

Bon, mais quelle est cette suite (an) dans la question 1) qui me parait incomplète ?

Dernière modification par freddy (03-05-2011 11:12:27)

yoshi · 03-05-2011 10:56:59

Re,

C'est bien la question que je me pose (pour la suite [tex]a_n[/tex]...
La piste de Mohamed a l'air intéressante à ceci près que je n'aboutis à rien : je fais beaucoup de confusions entre les [tex]a,\;a_n,\;A[/tex]...
D'autre part, notre ami écrit que :
[tex]a_{n+1}=3a_n-n^2+n[/tex]... or [tex]U_{n+1}=3U_n-n^2+n[/tex] dit l'énoncé.
De là à conclure que [tex]U_n[/tex] et [tex]a_n[/tex] sont la même suite, il n'y a qu'un pas...

Donc, je me suis dit :
j'écris que je peux formuler [tex]U_n[/tex] ainsi : [tex]U_n=pn^2+qn+r[/tex] d'où [tex]U_{n+1}=3(pn^2+qn+r)-n^2+n[/tex]
Et donc :
[tex]U_{n+1}=(3p-1)n^2+(3q+1)n+3r[/tex] et je m'en vais calculer p, q et r à partir de U1, U2, U3 en prenant n = 0, 1 et 2 (pour quoi faire d'ailleurs si on sait que [tex]U_n=pn^2+qn+r[/tex] ?)
Bref...
J'obtiens r=2, p = 4 q = 0 ce qui ne colle pas...
J'ai recommencé à partir de [tex]U_n=pn^2+qn+r[/tex] je trouve aussi r=2 mais après p et q ne sont pas les mêmes et ça ne colle pas non plus...

D'aitre part, si on pouvait exprimer tout de suite Un en fonction de n, à quoi serviraient les 2e et 3e questions...
Donc, ce n'est pas ça que Mohamed a voulu dire...
De plus si on pose dès le départ l'expression de [tex]a_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]a_n[/tex] à quoi sert de demander de le vérifier après ?
Il va donc devoir être un peu clair et peu plus explicite, parce que si moi, je ne décrypte pas son message, alors je doute que yahya le puisse...
Je continue à gratter, mais la question 1 de l'énoncé m'a paru bancale d'entrée de jeu (il me semble qu'il manque un bout de phrase terminal) :

1. Déterminer un polynôme du second degré P tel que la suite de terme général [tex]{a}_{n}=\,P\left(n\right)[/tex].

@+

freddy · 03-05-2011 11:13:39

Re,

faut pas se casser la tête, et il suffit d'attendre l'auteur du post pour préciser la première question qui ne semble pas complète.

une preuve ? il faut établir le résultat par récurrence. Mais quel résultat ? ...

yoshi · 03-05-2011 11:32:45

Re,

Je pense que la suite manquante est celle-ci (ou approchant) :
...[tex]a_n[/tex] telle que [tex]U_{n+1}=3^{n+1}U_0+a_n[/tex]
ce qui montrerait que somme toute tu "intuitas" pas si mal que ça...

Qu'en penses-tu ?

@+

[EDIT]
Pour [tex]U_{n+1}=3^{n+1}U_0+a_n[/tex]
et [tex]a_n=pn^2+qn+r[/tex], j'ai trouvé le p...
Restent encore q et r...

Dernière modification par yoshi (03-05-2011 13:02:36)

MOHAMED_AIT_LH · 03-05-2011 15:03:38

Bonjour
@yoshi: Salut! toi aussi, merci pour tes efforts !
@freddy:Salut! Merci pour tes visites régulières! et je te dis que l'énoncé est certes complet.

Le problème est qu'on a une suite [tex](U_n)[/tex] non facile à expliciter.
On fait donc une cahngement de suite [tex]V_n=U_n-a_n[/tex] où [tex](a_n)[/tex] est polynomiale de [tex]n[/tex] vérifiant la même relation de récurrence que [tex](U_n)[/tex].
Autrement dit, pour tout [tex]n[/tex] on a :

[tex]\left\{\begin{array}{l}U_{n+1}=3U_n-n^2+n \\ a_{n+1}=3a_n-n^2+n\end{array}\right.[/tex]

de sorte que [tex]{U_{n+1}-a_{n+1} = 3 (U_{n} - a_n)}[/tex]

Donc [tex]{V_{n+1}=3 V_n}[/tex], ce qui fait que la suite [tex](V_n)[/tex] est géométrique de raison [tex]3[/tex]

Pour exprimer [tex]U_n[/tex] explicitement en fonction de [tex]n[/tex] il suffit donc de connaitre [tex]a_n[/tex]

Posons [tex]P(x)=ax^2+bx+c[/tex] donc [tex]a_n=an^2+bn+c[/tex] et [tex]a_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c=an^2+(2a+b)n+a+b+c[/tex]
De [tex]a_{n+1}=3a_n-n^2+n[/tex] on tire :

[tex]{\forall n \in {\mathbb N} \quad (2a-1)n^2+(2b-2a+1)n+2c-a-b=0}[/tex]

Ceci veut dire, entre autres, que le polynôme [tex]Q=(2a-1)X^2+(2b-2a+1)X+2c-a-b=0[/tex] posséde une infinité de racines donc ses coefficents sont nuls

Autrement dit : [tex]{(S) \quad \left\{\begin{array}{l}2a-1=0 \\2b-2a+1=0 \\ 2c-a-b=0 \end{array} \right.}[/tex]. C'est le système linéaire dont j'ai parlé en haut.
Il est facile de le résoudre et trouver [tex]{a=\frac 12 , b=0, c= \frac 14}[/tex]
Ceci fournit l'expression de [tex]U_n[/tex].

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (03-05-2011 15:06:48)

yoshi · 03-05-2011 16:05:23

Salut

Clap ! Clap ! J'ai fini tes calculs et fait une vérification via Python pour n de 0 à 10 : ça colle ! Bravo....
Sauf que ....
Objection, votre honneur !
Si je reprends l'énoncé :

1. Déterminer un polynôme du second degré P tel que la suite de terme général [tex]a_n=P(n)[/tex].
Vérifier la relation de récurrence précédente.
2. Démontrer que la suite [tex]{V}_{n}=\,{U}_{n}-\,{a}_{n}[/tex] est une suite géométrique, préciser les éléments caractéristiques.

La suite [tex]V_n=U_n-a_n[/tex] n'intervient qu'à la 2e question.
Or, toi :
* tu fais intervenir V_n dès la 1ere question,
* tu réponds à la 2e question en montrant que V_n est géométrique de raison 3 (et de premier terme ?) pour répondre à la 14ere question !
* nulle part avant d'utiliser [tex]V_n = U_n-a_n[/tex] tu ne réponds à ça :

Déterminer un polynôme du second degré P

Où l'as-tu déterminé ? A la fin de tes calculs !
Où avec ce polynôme, as-tu vérifié la récurrence (et avant d'introduire V_n, n'est-ce pas) ?
Cela fait, alors seulement et seulement maintenant, tu dois introduire la suite [tex]{V}_{n}=\,{U}_{n}-\,{a}_{n}[/tex]
Numérote les questions dans ta réponse et tu verras ce que veux dire :
Et je maintiens que la subordonnée conjonctive introduite par "tel que" :

tel que la suite de terme général [tex]{a}_{n}=\,P\left(n\right)[/tex].

n'est pas complète, il y manque au minimum un verbe...

A moi (5675 messages) maintenant de te dire : merci pour tes efforts... ;-)

Je vais poursuivre ma méthode et voir ce que ça donne...

@+

[EDIT]
Je suis capable de trouver la formule "développée" (avec des pointillés au milieu, classiquement) de q en fonction de n, mais incapable par contre de trouver une formule générale courte : adoncques (comme on disait au Moyen-Âge), je fais probablement fausse route.
Si quelqu'un a une idée, voilà :
[tex]3^n(2n+1)+3^{n-1}(2n-1)+\cdots+3^3\times 7+3^2\times 5+3^1\times 3+3^0\times 1 = ?[/tex]
J'aimerais bien que yahya passe enfin et nous dise si oui ou non l'énoncé original de la 1ere question est conforme à 100% avec celui posté.
Si oui, cet énoncé est rudement mal écrit !

Dernière modification par yoshi (03-05-2011 17:52:20)

MOHAMED_AIT_LH · 04-05-2011 06:11:43

Bonjour

@yoshi

Ce forum posséde un privilège appréciable: on essaye d'aider et non pas faire à la place ...
C'est pour cela que j'ai juste donné une idée sur la structure de l'exercice , à savoir :
1)Faire un changement de suite
2) Chercher une solution particulière ( de forme polynomiale)
3)En déduire les soultions générales

Normalement , ce que j'avais dit mon ma prmière intervention devrait suffir comme indication, mais ayant vu :

yoshi a écrit :

De plus si on pose dès le départ l'expression de en fonction de à quoi sert de demander de le vérifier après ?
Il va donc devoir être un peu clair et peu plus explicite, parce que si moi, je ne décrypte pas son message, alors je doute que yahya le puisse...
Je continue à gratter, mais la question 1 de l'énoncé m'a paru bancale d'entrée de jeu (il me semble qu'il manque un bout de phrase terminal) :

j'ai détaillé plus ....

Une autre maniére de formuler la question 1) est :

Determiner une solution particulière du problème de la forme [tex]a_n=an^2+bn+c[/tex]

Je ne prétends donc pas avoir résolu l'exercice dans l'ordre des question ni avoir donné une réponse
compléte et ce pour laisser à la personne ayant posé la question une part du travail ...

yoshi · 04-05-2011 08:20:12

Salut Mohamed,

Il semble que tu aies mal interprété mes propos ou pas lu mon post à fond...
Je révère tes capacités mathématiques : tu en sais plus que moi, je le concède bien volontiers...
Ce n'est pas à moi qu'il faut rappeler qu'ici ce n'est pas faitesmesdevoirsamaplace.com : je ne t'ai jamais demandé de résoudre l'exercice de A à Z. Relis-moi.

Mais oui, je t'avais demandé d'être explicite parce que je n'avais rien compris à ta première explication et si, moi qui ne suis pas le premier venu (j'ai quand même baigné dedans pendant 38 ans de carrière, certes à 98 % au niveau 6e-3e, et ça ne fait que dix-douze ans que je m'efforce de retrouver peu à peu le niveau de ma jeunesse) j'étais dans ce cas, alors que dire de yahya (qu'on n'a pas revu d'ailleurs et c'est bien dommage) !

Donc, j'avais prévu d'y revenir.
La nuit portant conseil, j'ai clarifié ma compréhension de l'énoncé, mais je reviens à la case départ, tu vas le voir.
L'une des premières exigences des mathématiques est d'avoir l'esprit critique, donc mea culpa
* j'aurais dû voir de suite que ce n'est pas parce que :
[tex]U_{n+1}=3U_n-n^2+n\;et\;a_{n+1}=3a_n-n^2+n[/tex]
que pour autant [tex]U_n=a_n[/tex]
* Ma piste explorée était bien une fausse piste.

Je vais donc expliciter clairement mon désaccord (j'espère que tu acceptes ça et que tu ne te vexeras pas)

L'énoncé est

Soit la suite définie par:
1. Déterminer un polynôme du second degré P tel que la suite de terme général .
Vérifier la relation de récurrence précédente.

Volontairement, je m'arrête là pour l'instant.

Résolution
1. Déterminer un polynôme du second degré P tel que la suite de terme général [tex]a_n=P(n)[/tex]
Là, je reste toujours sec (mais je vais reprendre ma réflexion) mais je réfute ton procédé parce que tu utilises les résultats de la 2e question pour répondre à la première : ça, ce n'est pas possible !
Donc il faut arriver à montrer que [tex]a_n=\frac 1 2n^2+\frac 1 4[/tex].

Supposons que j'aie réussi à le montrer : alors je passe à la 2e partie de la question qui est :
Vérifier la relation de récurrence précédente
Puisque [tex]a_n=\frac 1 2 n^2+\frac 1 4[/tex] alors on en déduit [tex]a_{n+1}[/tex]
Puis on calcule [tex]3a_n-n^2+n[/tex] pour constater que [tex]a_{n+1}=3a_n-n^2+n[/tex]
Là, on a vérifiéla relation de récurrence initiale.

Et maintenant

2. Démontrer que la suite [tex]{V}_{n}=\,{U}_{n}-\,{a}_{n}[/tex] est une suite géométrique, préciser les éléments caractéristiques.

Là, aucun pb, on pose [tex]V_n=U_n-a_n[/tex], on montre facilement que [tex]V_{n+1}=3V_n[/tex].
La suite se déroule sans histoire...

Relis-toi, que proposes-tu ?
1. Tu présupposes que [tex]a_{n+1}=3a_n-n^2+n[/tex],
2. Tu introduis [tex]V_n=U_n-a_n[/tex],
3. Tu montres que [tex]V_{n+1}=3V_n[/tex],
4. Puis tu finis par en déduire l'expression de [tex]a_n[/tex] en fonction de n...

Et que demande l'énoncé (dans l'ordre ! ) :
1. Déterminer l'expression de [tex]a_n[/tex] en fonction de n,
2. Vérifier que l'on a bien [tex]a_{n+1}=3a_n-n^2+n[/tex],
3. Introduire la suite auxiliaire [tex]V_n=U_n-a_n[/tex],
4. Arriver à montrer que [tex]V_{n+1}=k.V_n[/tex]

Donc retour à la case départ : que manque-t-il dans l'énoncé, pour arriver à exprimer a_n en fonction de n ?
On le saura si yahya se manifeste un jour...

Voilà pourquoi j'ai émis une objection.

D'accord ou pas cette fois ?

Bien cordialement,

@+

MOHAMED_AIT_LH · 04-05-2011 09:57:32

Bonjour

Bonjour yoshi : C'est évident que toi membre du forum qui aide... tu n'es en aucun cas sujet de ma remarque concernant faire les devoirs à la place !!!

"Je révère tes capacités mathématiques : tu en sais plus que moi, je le concède bien volontiers..."
Je t'en prie yoshi!! ne dis pas ça ! Rassure toi car je considére toujours que j'ai besoin d'apprendre (une des raisons pour lesqulles je fréquente les forum). A présent la capacité qui compte c'est celle de vouloir aider autrui et de vouloir échanger ce qu'on a !
De ce côté c'est réglé !

Pour ce qui est de la question 1)
On n'a pas besoin de reverifier la relation de récurrence car on peut procéder par équvalence.
Une suite [tex](a_n)[/tex] de la forme [tex]a_n=an^2+bn+c[/tex] verifie la relation de récurrence (*) si et seulement si [tex](a,b,c)=(1/2,0,1/4).[/tex]
La rasoin c'est ce qui suit:
Si [tex]P[/tex] est un polynôme alors P est nul si et seulement si [tex]P[/tex] a une infinité de racines.

Finalement , permet moi de décrire ce problème (géométriquement) et j'espére que cela ne soit pas une surcharge .....

l'ensemble [tex]E[/tex] de toutes les suites réelles vérifiant la relation de récurrence : [tex](*) \quad U_{n+1}=3U_n-n^2+n[/tex] est une droite affine de direction la droite vectrielle [tex]\Delta =\text{Vect}\{(3^n)_{n\geq 0}\}[/tex]. Autrement dit si on connait un élément particulier de [tex]E[/tex] (disons une suite [tex]a=(a_n)[/tex] alors on a : [tex]E =a+\Delta[/tex]. Autrement dit : La forme générale des éléments de [tex]E[/tex] est [tex]U_n=a_n + \alpha 3^n[/tex] avec [tex]\alpha \in {\mathbb R}[/tex].
Pour verifier l'afirmation que [tex]E[/tex] est une droite affine de direction [tex]\Delta[/tex], il suffit de montrer que la difference de deux éléments quelconques de [tex]E[/tex] est dans [tex]\Delta[/tex]).

On saura dons la forme explicaite des éléments de [tex]E[/tex] si on arrive à determiner un élément de [tex]E[/tex] explicitement.

Naturelement si quelqu'un veut chercher cet élèment il va commencer par les suites constantes : Posons [tex]a_n=c[/tex] alors : [tex]\forall n \in {\mathbb N} \quad \in E \Leftrightarrow c=3c-n^2+n[/tex]
Cela ne peut se réaliser donc [tex]E[/tex] ne contient aucune suite constante.

Ensuite il va essyer les suites de la forme [tex]a_n=an+b[/tex]
Alors [tex]a \in E \Leftrightarrow \forall n \in {\mathbb N} \quad n^2-(2a+1)n+a-2b=0[/tex]
là encore ce n'est pas possible (car cela signifie qu'on a un polynôme de degré 2 avec une infinité de racines)

Finalement il tente les suites de la forme [tex]a_n=an^2+bn+c[/tex]. Là c'est gagné : il y a une et une seule suite de cette forme qui est dans [tex][/tex]E[tex][/tex] à savoir [tex]a_n = \frac 12 n^2 + \frac 14[/tex]

La forme explicite des éléments de [tex]E[/tex] est donc [tex]U_n=\alpha 3^n + \frac 12 n^2 + \frac 14[/tex].

Les conditions initiales (comme [tex]U_0=2[/tex] dans le cas de l'exo) permettent de determiner parfaitement [tex](U_n)[/tex]

l'énoncé de l'exo nous pousse à trouver d'abord un élèment particulier de [tex]E[/tex] qui la forme la plus simple qu'on puisse imaginer (un polynôme de degré minimal, en l'occurence [tex]2[/tex], car comme on l'a vu ni le degré 0 ni le degré 1 ne nous fournit d'élément ... )

Remarque :
On peut généraliser cet exo mais avant on peut commencer par des cas particuliers comme les suites verifiant : [tex]\forall n \in {\mathbb N} \quad U_{n+2}=U_{n+1}+U_n + n^2+n[/tex]
Cette fois ci ce sera un plan affine de direction le plan vectoriel engedré par les suites géométriques [tex]a_n=\Phi^n[/tex] et [tex]b_n=\left(-\frac{1}{\Phi}\right)^n[/tex] où [tex]\Phi=\frac{1+ \sqrt 5}{2}[/tex] est le nombre d'or ... ce qui donne la forme explicite des éléments de [tex]E[/tex] dans ce cas , à savoir [tex]U_n=\alpha \Phi^n + \beta \left(-\frac{1}{\Phi}\right)^n + b_n[/tex] où [tex]b=(b_n)[/tex] est un élément particulier de [tex]E[/tex]. Et là encore il faut chercher [tex]b[/tex] en proposant des formes simples comme les polynômes ....

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (05-05-2011 01:20:34)

freddy · 04-05-2011 10:55:16

Salut Mohammed,

sans vouloir en rajouter, je dis, j'affirme, je soutiens, maintiens, persiste et signe que l'énoncé de cet exo (niveau secondaire, pas supérieur !) est incomplet (et incompréhensible en français) dans sa première question, donc a priori insoluble pour un élève de ce niveau, sauf exception. L'élève a recopié, n'a pas dû se relire et voilà ...

La suite (an) n'est définie nulle part, et surtout sans lien dans l'ordre logique de l'énoncé. Pourtant, on demande de vérifier qu'elle "vérifie bien" ... et de demander de le vérifier par récurrence.

Ce point est incontestable, irréfutable et non négociable.

Pas besoin d'en dire plus et attendre que yayha veuille bien revenir compléter, s'il en a le temps et/ou le désir.

C'est dit.

Dernière modification par freddy (04-05-2011 15:22:04)

yoshi · 04-05-2011 12:12:23

Re,

"Je révère tes capacités mathématiques : tu en sais plus que moi, je le concède bien volontiers..."
Je t'en prie yoshi!! ne dis pas ça ! Rassure toi car je considére toujours que j'ai besoin d'apprendre (une des raisons pour lesqulles je fréquente les forum). A présent la capacité qui compte c'est celle de vouloir aider autrui et de vouloir échanger ce qu'on a !

Rassure-toi à ton tour, je ne t'ai pas mis sur un piédestal, et je ne me suis pas traîné dans la boue non plus ;-)
J'ai énoncé, comme tout joueur d'échecs de compétition (même si pour moi, c'est du passé) un fait avéré et indiscutable, tout comme si jouant contre quelqu'un je lui annonçais un "mat en 4 coups", ce serait une annonce indiscutable et un destin inéluctable, sinon, j'aurais fermé ma grande g.. ;-)
C'est comme ça que fonctionne un joueur de compétition.

Droite vectorielle, plan vectoriel : on apprend ça à quel niveau ? Je prends un pari : probablement pas en TS, mais sûrement en Sup ou Spé...
Si j'ai su dans le passé, j'ai oublié : voilà qui me va être une occasion de me rafraîchir la mémoire !
Cet énoncé mis à part la première partie de la première question, est tout à fait classique pour un niveau TS.

Pour ce qui est de la question 1)
On n'a pas besoin de reverifier la relation de récurrence car on peut procéder par équvalence.

Là, pour le coup, il ne s'agit pas de ne pas avoir besoin mais de suivre les Instructions données par l'énoncé.
Lequel énoncé demande expressément, et dans cet ordre, de :
* Déterminer [tex]a_n[/tex]
* Vérifier la relation de récurrence donnée.

Finalement il tente les suites de la forme [tex]a_n=an^2+bn+c[/tex]. Là c'est gagné : il y a une et une seule suite de cette forme qui est dans E.

Là, dans l'absolu, on est d'accord.
Heureusement pour yahya, l'énoncé disait sans ambiguïté : polynôme du 2nd degré
Je n'y peux rien, c'est encore un fait !

En conclusion, je maintiens, en attendant l'intervention de yahya, que l'énoncé au début est incomplet...
Désolé, je suis têtu !

@+

[EDIT]
Tiens, freddy a posté pendant mon pensum.
Et il est de mon avis ! Ça soulage ma conscience...

Dernière modification par yoshi (04-05-2011 12:14:19)

MOHAMED_AIT_LH · 04-05-2011 14:41:28

Bonjour:

@yoshi et freddy :

Désolé! C'est à la dernière minute que je découvre la cause de votre remarque !!!

La question est mal posée !!! c'est évident.

Il faut remplacer "verifiER" par "verifie" , supprimer le point final ainsi que le retour à la ligne et le 'V' majuscule .... pour avoir :

"1)' Déterminer un polynôme du second degré P tel que la suite de terme général [tex]a_n=P(n)[/tex] vérifie la relation de récurrence précédente."

Sinon ce n'est pas le sens mathématique seulement qui est touché mais le français aussi !!!!!

Vous avez complétement raison !!!!!!!!!!

et je précise que la question à laquelle je répondais c'est plutôt : 1)'

(L'habitude rends parfois aveugle....)

Merci à ta citation :

yashi a écrit :

Lequel énoncé demande expressément, et dans cet ordre, de :
* Déterminer
* Vérifier la relation de récurrence donnée.

qui m'a ,à peine, mis sur la bonne voie

cela finira par te soulager plus mais excusez moi mon inatention peur ce verbe à linfinitif !!!!

Cordialement

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (04-05-2011 14:45:56)

freddy · 04-05-2011 15:21:52

Re,

même pas, cher ami.

la suite (an) n'étant définie nulle part ailleurs dans le texte, comment veux tu qu'on vérifie qu'elle s'écrit via un polynôme du second degré ? ...

yoshi · 04-05-2011 15:53:05

Re,

J'abonde dans le sens de freddy : avec une indication supplémentaire le permettant, le verbe à l'infinitif "Déterminer" est tout à fait apprprié.
De même ensuite pour le verbe "Vérifier" : infinitif approprié, justifié et courant.
On a affaire à une "proposition infinitive" on pourrait remplacer cette formulation par "On demande de déterminer...", voire un impératif : "Déterminez un polynôme du second degré...", ce qui est moins l'usage...

Il y a des habitudes, je dirais même des "tics de langage" en maths : je peux dire que tout le temps où j'étais Lycéen, qu'est-ce que je me faisais engueuler si j'avais le malheur d'utiliser "je" dans une démonstration...
Interdit ! Prohibited ! Verboten !... C'était "nous", "on" ou la tounure "Faisons ceci", "montrons que"...

L'habitude rend parfois aveugle....

Je connais ça : je rappelle souvent que "On ne voit que ce qu'on s'attend à voir !"
Il y a des jours comme ça, où ne voit pas des choses qui pourtant vous crèvent les yeux : j'appelle ça des cas de cécité temporaire caractérisée...
C'est pas grave : ça arrive à tout le monde.

Si la question était formulée comme 1)' : rien à dire, ton procédé est parfait !
Mais je suis sûr à 99% que la question 1) d'origine est bien en 2 parties.
Si tu donnes une indication supplémentaire (Je la cherche toujours ! Je ne lâche pas facilement le morceau : un vrai Pitbull !) alors tu peux bien dire Déterminer... et arriver à [tex]a_n=\frac 1 2 n^2+\frac 1 4[/tex].
Ensuite ces calculs faits, tu peux (et tu DOIS) mettre le nez de celui qui résout l'exo sur la récurrence en disant : Vérifier la relation de récurrence..
Plus "propre" d'ailleurs serait de dire : Montrer que a_n vérifie la relation de récurrence précédente.

J'ai d'ailleurs constaté que j'étais allé trop vite au départ en "identifiant" Un et an parce qu'elles vérifiaient la même relation de récurrence.
Et j'ai constaté que la différence fondamentale entre les deux est la valeur initiale U0 = 2 de U interdisant de les confondre...

@+

MOHAMED_AIT_LH · 04-05-2011 17:00:20

Bonjour !

Ok yoshi!

Ce que tu as dit de l'infinitif est le plus utilisé dans les exos de maths : 'Prouver que, Etablire ,En déduire que, etc...'

Ce que je veux dire c'est qu'il y un ''Tel que la suite de terme général a_n=P(n)'' qui n'a pas de réponse ...

Enfin! c'est ce que je sens et vous êts mieux placé que moi pour là dessus !

Allez bonne journée !

Je vois qu'on a parlé ... mais c'est util ...

'Le langage n'est pas un luxe !' (un rappel pour nous ,enseignants ,de bien formuler les questions...)

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (04-05-2011 17:03:31)

yahya · 04-05-2011 23:38:10

Bonsoir,
Je vous suit très reconnaissant de m'avoir aidé quant à la résolution de cet exo. En ce qui concerne sa rédaction, un ami à moi, quelqu'un qui s'y connait pas mal m'a aider à le faire vu que je suis débutant.
Je tiens à vous dire que ce forum est super intéressant et bonne continuation.....

yoshi · 05-05-2011 06:59:49

Re,

Oh là...
Pas si vite !

Réponds à cette question s'il te plaît :
La question 1. de ton énoncé est-elle complète, conforme à ce qui est écrit sur l'énoncé original ?

Les 3 qui t'ont répondu pensent que non...
Et de ne pas avoir une réponse nous dérange beaucoup.

Parce que si oui, s'il est complet, pour un "débutant", alors il est mal écrit, et "infaisable"...

Et la prochaine fois si tu reviens,, la moindre des choses : évite de de nous dire que tu avais tellement confiance en nous pour avoir une réponse que tu t'es fait aider par quelqu'un...

@+

freddy · 05-05-2011 13:04:12

Salut yoshi,

j'ai beau tourner le sujet dans tous les sens, la question 1 est définitivement très mal formulée.

Je pense que la bonne façon de faire eût été de dire :

- montrer qu'il existe une suite numérique [tex](a_n)[/tex] telle que la suite [tex](U_n-a_n)[/tex] forme une suite géométrique dont on précisera la raison.

Et d'ajouter comme indication :

- à cet effet, on montrera qu'il existe un polynôme réel de degré 2 tel que : [tex]\forall n \in \math{N},\;a_n=P(n)[/tex].

Dernière modification par freddy (06-05-2011 07:59:23)

yoshi · 05-05-2011 14:14:55

Salut freddy,

Et moi, j'ai beau me casser la tête depuis 48 h, je ne vois pas quelle (très courte) info supplémentaire rajouter dans l'énoncé pour garder l'apparition de la suite auxiliaire en 2e question et aboutir à [tex]a_n=\frac 1 2n^2+\frac 1 4[/tex] dès la première...
Alors, oui, rédigé comme ça l'est ici, c'est un peu fort de café...

Et comme notre ami a dû lire en diagonale notre discussion puisque sa confiance en nous était tellement énorme qu'il a éprouvé le besoin de se faire aider par un "ami qui s'y connaît", donc pas répondu à nos interrogations, je crains qu'on ne sache jamais...

Tant pis !

@+

MOHAMED_AIT_LH · 06-05-2011 11:09:32

Bonjour

Voici une exploitation de cette question sous forme d'un exercice niveau Bac+1 ou 2: Cliquer ic

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 03-05-2011 01:12:35

[Résolu] Suites Numériques

#2 03-05-2011 06:40:08

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#3 03-05-2011 09:00:55

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#4 03-05-2011 09:41:12

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#5 03-05-2011 10:00:58

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#6 03-05-2011 10:56:59

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#7 03-05-2011 11:13:39

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#8 03-05-2011 11:32:45

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#9 03-05-2011 15:03:38

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#10 03-05-2011 16:05:23

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#11 04-05-2011 06:11:43

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#12 04-05-2011 08:20:12

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#13 04-05-2011 09:57:32

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#14 04-05-2011 10:55:16

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