mathématiques et réalité

douta · 18-04-2011 22:42:13

bonsoir!
J'aime la philosophie et je suis intéressé par les sciences ou de façon générale l'épistémologie. Je voudrais savoir quelles relations il y a entre les mathématiques et la réalité? En d'autres termes les mathématiciens partent-ILS de la réalité ou procédent-ils par pure abstraction, et ce n'est qu'après que l'on fait des applications concrètes?

freddy · 19-04-2011 07:48:42

Salut,

de mon très modeste point de vue, on ne peut pas faire de distinction.

Au départ, il y a un problème bien réel à résoudre : comment répartir équitablement les gains d'un jeu de hasard interrompu, comment remembrer les terres après mariage, calculer une longueur, une largeur, une surface, une distance, une durée, comment asseoir équitablement des contributions finançant des biens collectifs qui profitent à la collectivité, ...

Puis viennent des observations de plus en plus fines : pourquoi la forme de l'œuf le rend t-il si résistant, comment la terre tourne t-elle autour du soleil, et pourquoi, ...

A ce jeu sans fin de questions / réponses (ou pas de réponse) se met progressivement en place des concepts qui appartiennent à la capacité d'abstraction de l'intelligence (humaine ?), des liens profonds et logiques entre ces concepts ...

Puis rien n'interdit qu'on se pose des questions immédiatement abstraites : la théorie des nombres en est pleine ! ...

douta · 19-04-2011 11:56:51

Merci pour cette belle réponse. Mais, on lit parfois dans les livres que c'est Galilée qui a fondé les bases de la nouvelle science en mathématisant la physique.Pourquoi? Et en quoi consiste sa loi de la chute des corps?

marin marais · 19-04-2011 12:53:59

douta a écrit :

Mais, on lit parfois dans les livres que c'est Galilée qui a fondé les bases de la nouvelle science en mathématisant la physique.Pourquoi? Et en quoi consiste sa loi de la chute des corps?

Bonjour,

Si Galilée était plein de mérites, je suis dubitatif quant à l'idée de lui attribuer la mathématisation de la physique. Dans ce rôle, je verrais plutôt Descartes et surtout Newton (presque un siècle plus tard). Galilée correspondrait plutôt, selon moi, au premier physicien d'expériences (à opposer au théoricien).

Ça ne lui ôte certainement pas son rôle moteur dans la rationalisation de la science (l'idée des mouvements relatifs en fonction des référentiels digne de la plus profonde admiration), au début du XVIIe siècle. Au nom de Galilée, on peut ajouter Descartes, Pascal, Bacon et de nombreux autres, je suppose.

A+,
Thomas.

yoshi · 19-04-2011 13:58:18

Bonjour,

Au début, les mathématiques se sont développées ayant un but utilitaire :
- Arithmétique pour le commerce, en particulier. Puis sont venus les savants arabes qui, les premiers eurent, devant le fait que dans certains cas, l'Arithmétique, chère à notre ami nerosson, était soit impuissante, soit demandait beaucoup de "contorsions", l'idée de remplacer les valeurs à calculer par des lettres et inventèrent l'Algèbre. Mais il a bien fallu explorer le nouveau domaine et en définir les lois de fonctionnement. nouveau bond en avant.
- Géométrie (métrique) : les Grecs mesurèrent tout ce qui pouvait se mesurer sur terre et autour. Leurs mathématiciens étaient souvent -sinon toujours- doublés d'astronomes... Là encore, il a bien fallu mettre au point des outils mathématiques pour ce faire. Pythagore, Archimède, Thalès and co sont passés par là...

Pour moi, les mathématiques ont servi à appréhender la nature via des calculs... Depuis quelques siècles déjà on entre dans un très haut niveau d'abstraction et les concepts développés servent aux Physiciens, Biologistes qui se les approprient et finissent par en trouver une utilisation : faites confiance à l'esprit humain...
Même certains peintres ou sculpteurs se sont servis des maths via la "divine proportion" (cf nombre d'or).

Quant à la chute des corps, Galilée battit en brèche les idées d'Aristote, et montra que en négligeant les forces de frottement de l'air (en 1602!), la vitesse de chute d'un corps ne dépend pas de sa masse (et donc de son poids) : au bout d'une seconde, chaque objet a atteint la même vitesse, et l'augmentation de vitesse serait la même entre la 1ere et la 2e s :
je me souviens de l'expérience faite par mon prof de Physique de 2nde (ça ne date pas d'hier, ni d'avant-hier) : dans un tube transparent de 2 m de long, une bille de plomb et une plume.
Il rassembla le tout du même côté puis retourna le tube en position verticale : et là, pas de surprise, la bille fonça vers le bas et la plume voleta...
Mais ce tube était muni d'un embout permettant d'y faire un vide partiel, mais déjà conséquent. Et il recommença l'expérience : et là, paf, bille et plume arrivèrent en bas en même temps.
On sait depuis, calculer la distance parcourue en chute libre par un corps connaissant la durée de chute et g l'accélération de la pesanteur (9,81 m/s² au niveau de la mer) : [tex]e = \frac 1 2 g.t^2[/tex].
La vitesse de chute atteint après un temps t s'écrit elle : [tex]v = g.t[/tex] ou encore, en fonction de la hauteur de chute h, [tex]v^2=2gh[/tex].
Et il s'appuya sur quantités d'expériences.
On sait aussi que Galilée tenta d'imposer l'idée que la Terre n'était pas au centre du monde, qu'elle tournait sur elle-même et autour du soleil : à son procès en hérésie, il fit machine arrière. On dit que certains l'entendirent murmurer pour lui-même : "Eppur si muove...", et pourtant elle tourne...

@+

nerosson · 19-04-2011 16:32:53

Salut à tous,

Voilà Candide qui s'amène et, avec un culot magistral, il s'est mis en tête de contredire tout le monde.

Je crois dur comme fer que l'origine des sciences en général, et des mathématiques en particulier, c'est LA CURIOSITE. Le besoin de COMPRENDRE, de SAVOIR !

J'ai un très vague souvenir d'une chose que j'ai lue je ne sais où il y a bien des années : on demandait à un physicien sur quoi il travaillait. Il a répondu :"oh ! Des histoires de grosses molécules. Aucun intérêt pratique." Il était de ceux qui étaient entrain d'inventer les matières plastiques.

Quand, vers l'âge de dix ans, Pascal était occupé à réinventer la géométrie, il n'était inspiré par aucune préoccupation pratique. Quand Erathosthène prouva que la terre était ronde, qu'il calcula sa circonférence avec une précision confondante, C'EST PARCE QU'IL AVAIT ENVIE DE SAVOIR, mais ça n'est pas parce qu'il voulait en faire le tour pour aller acheter des épices. Christophe Collomb, un homme d'ailleurs parfaitement antipathique qui exploitait (très mal), et avec une incroyable cupidité les des idées qu'il avait empruntées à d'autres, est venu bien plus tard. Quand Pythagorre démontra son théorème ou quand Euclide émit son postulat, ces gens-là, on les aurait sans doute bien embarrassés si on leur avait demandé :"A quoi ça sert ?".

Puis-je savoir dans quel but pratique on veut absolument en savoir plus sur le Big Bang ?

Après sont venus les "exploitants", et je ne nie pas que ce furent parfois les mêmes: le génie de Pascal a servi à inventer la machine à calculer, et je suppose qu'on pourrait citer bien d' autres exemples.

Quant à Descartes, puisque je me suis décidé à faire scandale, je ne vais pas m'arrêter en si bon chemin :j'aime mieux ne pas dire ce que j'en pense. S'il s'en était tenu à son principe de départ :"ne tenir pour vrai que ce qui est clairement démontré", il en serait resté à "je pense donc je suis". J'ai lu le début du "Discours de la méthode" : après il est passé à l'existence de Dieu. C'était à se taper le cul sur le bord du trottoir. J'ai arrêté les frais.

Je vous autorise à me clouer au pilori.

Dernière modification par nerosson (19-04-2011 17:22:00)

freddy · 19-04-2011 16:55:23

Salut à toi, Ô vénérable vieillard !

Tant que tu ne démontres pas ce que tu affirmes, cela reste un credo qui tu risques de partager qu'avec toi même.

Donc, démontre, au lieu de chercher à persuader !

yoshi · 19-04-2011 16:55:59

Re,

Quelle contradiction ?
Il est clair qu'une curiosité insatiable, une soif inextinguible d'expliquer l'inexplicable (du moment) sont les moteurs du "progrès" (entre guillemets, parce que quand je vois ce qui a été fait de certaines découvertes...).

Je me souviens d'une année, où devant aborder l'électricité en Physique, j'ai apostrophé ma classe en leur disant :
<< Je vais vous montrer quelque chose de fabuleux ! >> et d'appuyer plusieurs fois sur les interrupteurs allumant/éteignant les rampes de lampes au néon éclairant la salle...
Je savais à quoi m'attendre et je n'ai pas été déçu : ceux qui avaient reçu positivement ma provocation se comptaient sur les doigts d'une main...
Bande de blasés !

Allez comme dirait freddy : Pour l'honneur de l'esprit humain...

@+

[EDIT] ... lequel freddy vient de passer, me "grillant la politesse" comme on dit ! Salud, hombre !

Dernière modification par yoshi (19-04-2011 16:57:25)

nerosson · 19-04-2011 17:28:11

Salut à tous,

Par suite d'un incident technique, j'ai du reprendre mon post en entier, alors que les trois premières lignes seules étaient parues.

Maintenant que je l'ai publié intégralement, il me semble que l'objection de Freddy perd beaucoup de son mordant ?

yoshi · 19-04-2011 20:20:18

Re,

Ce qu'on dit moins (ça en gêne beaucoup aux entournures) c'est ce que ce fameux "Discours de la méthode" dont on rebat les oreilles au Lycée lui fut inspiré par... 4 rêves !
Vous avez dit étrange ? Comme c'est étrange...

A vrai dire, moi, ça ne me gêne pas (et même, je m'en f...) ! Peu importe le flacon pourvu qu'on ait l'ivresse...

Oui, nerosson, ton intervention est plus intéressante comme ça : je suis assez d'accord avec toi, tu as pu le constater.
Et cette foutue question << A quoi ça va me servir plus tard ? >>, qu'est-ce que je peux l'avoir entendue ... !!!
Mais à chaque fois pourtant, elle me retournait quand même l'estomac...

@+

freddy · 19-04-2011 21:59:36

Salut !

Désolé de contredire, mais je n'adhère pas trop à l'idée d'un monde idéal où les hommes seraient mus par leur seule curiosité et désir de savoir, comprendre, étendre sans raison le champ de leurs connaissances.

Au début du commencement, nécessité fait loi. Témoin ce lien fort intéressant : http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

Ensuite, je pense que l'esprit de compétition propre à notre espèce n'est pas étranger aux progrès incessants de cette discipline. Une preuve ? Dois je vous rappeler les montants en espèces sonnantes et trébuchantes promis à ceux qui résoudraient une ou plusieurs conjectures célèbres ? Dois je vous rappeler comment de célèbres auteurs et mathématiciens réputés cherchaient, il y a peu, à mettre en échec leurs congénères et confrères dans un esprit très peu confraternel ? N'oublions pas que l'école soviétique n'était mue que par un désir d'hégémonie idéologique !

Enfin, notre intérêt à nous cultiver pour chercher à exceller en la matière est il vraiment totalement innocent ?

Allez, je pense que nous sommes tous, volens nolens, soumis à cette règle exclusivement humaine :

"savoir pour prévoir, prévoir pour pouvoir"

freddy · 20-04-2011 12:13:21

Re,

encore un élément de réflexion : celui qui démontra la célèbre conjecture de Fermat mis 10 ans à travailler d'arrache pied pour y parvenir non pas pour "voir" s'il pouvait le faire, mais pour montrer à la communauté qu'il était the best one !!!

Notre moteur à nous tous est : en suis je capable (dès lors que j'ai compris l'énoncé, car souvent on ne sait même pas de quoi il en retourne) ? Notre moteur, c'est notre fierté personnelle, notre estime de nous même !

D'où la réponse à la question :"à quoi ça sert ?". Si l'élève se pose la question, c'est qu'il n'a pas compris l'enjeu ni l'essence du problème, ni de la question à débattre.

Je me souviens avoir répondu un jour à la fille d'une amie qui me demandait à quoi servait les espaces vectoriels par : "A aller sur la lune !".

Bises au chien, caresse à la pendule et pensez à remonter le chat !

nerosson · 20-04-2011 13:39:16

Salut à tous,

Freddy,

Tu n'accepte pas l'idée :"un monde idéal où les hommes seraient mus par leur seule curiosité et désir de savoir, comprendre, étendre sans raison le champ de leurs connaissances."

Dit comme ça, je suis parfaitement d' accord.

Moi, je modifie comme ça pour traduire ma pensée : "un monde parfaitement répugnant où quelques rares individus, dont je n'ai pas la sotte prétention de faire partie, sont mus par leur seule curiosité et le désir de savoir, comprendre, étendre sans raison le champ de leurs connaissances."

L'esprit de compétition, le goût de la notoriété sont aussi des facteurs incontestables, mais ils viennent après, surtout pour les rares individus dont je parle. Eratosthène, par exemple n'était pas mu par l'esprit de compétition.

Pour le vulgum pecus, les grands moteurs (du moins pour ceux qui en ont) sont la volonté de puissance et le besoin frénétique de se reproduire.

Mon père, instituteur, ayant donné du travail à ses élèves, en voit un qui demeurait inactif. Il l'interpelle :
"- Eh bien ! toi, qu'est-ce que tu fais ?"
"- Moi, Msieur, j'attends qu'on sorte !"

J'ai un extrême regret de ne pas avoir connu ce grand philosophe.

douta · 20-04-2011 22:33:42

bonsoir!
Merci pour ces réponses enrichissantes et éclairantes.

nerosson · 24-04-2011 16:03:28

Salut à tous,

Encore une toute petite réflexion, rien que pour enquiquiner Freddy.

Si la médaille Fields et les prix Nobel n'existaitent pas, les hommes et les femmes qui les ont obtenus auraient fait le même travail, avec le même acharnement.

freddy · 24-04-2011 18:05:51

Salut,

tu oublies le prix Abel !

Ils s'en foutent, seule la reconnaissance de leurs pairs les importe, ne penses tu pas ?

nerosson · 25-04-2011 16:19:17

Salut, Freddy et les autres,

Il y a aussi le prix IGNOBEL. Je ne désespère pas de l'obtenir un jour ! ;-)

Ca mis à part, les jours où je te vois abonder dans mon sens sont à marquer d'une pierre blanche ! ! !

freddy · 26-04-2011 10:59:58

Salut,

je vais essayer d'être moins radical. La connaissance exige, comme l'a fait remarquer la virulente et inutile critique d'un récent visiteur, qu'on puisse s'y fier, lui accorder sa confiance pour continuer à progresser.

La qualité première de la mathématique est son autovérification : donc, dès lors qu'un résultat est établi, il est communiqué (sinon, il ne sert à rien), et il est, volens nolens, soumis à la vérification de ses lecteurs.

Souvent, on ne vérifie pas, on cherche à comprendre la démonstration du résultat. C'est à ce moment là qu'on peut y voir une erreur.

Donc il y a au départ le désir de comprendre, puis le plaisir d'avoir compris et pour certains d'entre nous, le plaisir de transmettre ce qu'on a compris.

Pour d'autres, il y a à résoudre des problèmes nouveaux avec des instruments connus, et pour les meilleurs d'entre nous, des problèmes nouveaux exigeants la construction de nouveaux instruments.

Et pourquoi faisons nous cela ? Comme le dit Gaston Rebuffat à propos de la grimpe, "parce que c'est là".

@nerosson : pourquoi cherches tu mon accord, alors que tu cherches en permanence à te singulariser ? ;-))

nerosson · 27-04-2011 13:10:17

Salut a tous

Ton jugement est sévère et cruel, Freddy.

je ne cherche pas à me singulariser, mais il m'arrive assez souvent d' avoir des idées et des opinions qui sortent des limites du conventionnel.

Je ne cherche pas à me singulariser, mais il arrive que mes idées me singularisent (et parfois elles choquent) : dois-je pour autant y renoncer ? La réponse est : NON, NON ET NON ! ! !

Dernière modification par nerosson (28-04-2011 15:30:42)

EricS · 27-04-2011 17:03:35

Bonjour

Je ne sais pas si mon avis apportera quelque chose de nouveau parmis toutes les choses qui ont été dites ici mais je pense qu'il est aussi important de dire qu'a un certains niveaux de mathématiques, les gens ne peuvent plus forcément voir l'interêt "concret" de leur recherche.
Il arrive souvent que des chercheurs travaillent sur des équations d'une grande complexité, y trouvent des resultats abstraits mais ne puissent pas expliquer des exemple d'application de leurs resultats. Simplement car ce n'est pas leur partie du travail.
On peut donc travailler, contribuer à des problèmes très concret sans pour autant être pour le moins du monde "rattaché" à cette réalité durant notre travail.

Quant a l'attachement des mathématiques a la réalité. Je pense qu'il est évidement fort aujourd'hui tant les sciences telles que la physique, la chimie etc.. se doivent de résoudre des problèmes mathématiques extrèmement délicats pour pouvoir progresser.
Toutefois, les mthématiques se sont, je pense, aujourd'hui détachées de la réalité: quand on a découvert l'existence de géométries euclidienne, on était dans une optique d'abstraction pure (même si aujourd'hui, ces géométries peuvent finalement nous servir en physique). Il peut donc aujourd'hui arriver que des résultats trouvés par abstraction pure, par "simple envie" d'étudier la non-contradiction de quelques axiomes permettent ensuite de trouver des applications concrète.

D'une certaine manière, la roue à tournée. L'abstraction peut servir la réalité alors qu'a leurs débuts, les mathématiques étaient faites par besoin d'&tudier cette même réalité.

Pardonnez moi pour les diverses fautes de frappe et d'orthographe surement présentes..
Eric

EricS · 27-04-2011 17:08:01

excuser moi. des géométries NON-euclidienes bien sur!

godin J-C · 29-07-2011 08:08:58

Bonjour,

Je me suis bien amusé en lisant ces différents point de vue ! Maintenant, je vais osé vous donnez mon point de vue :

Quand j'avais 7 ans, j'ai demandé à mon père :"pourquoi la lune est ronde ?", il m'a répondu "tu comprendra quand tu sera plus grand !". Puis quand j'ai passé mon agrégation de mathématiques, j'ai appris de nombreux théorèmes, comme celui de "Guldin", et enfin je me suis dit "Eurêka je sais pourquoi la lune est une "sphère", merci les anciens !". Ainsi, mon "moteur" était une insatiable curiosité, ce qui n'a pas changé encore aujourd'hui ! Puis quand j'étais à l'université pour ma thèse en mathématiques et informatiques, j'ai discuté avec beaucoup de chercheurs, et j'ai eu la surprise d'apprendre que pour un certain nombre d'entre eux, c'était soit pour l'argent, soit pour la gloire, soit parce qu'il ne savait pas faire autre chose, soit .... (il y a encore d'autre variantes) .

C'est un peu comme la taille humaine : il y a des grands, des petits, et plein dans la moyenne ....

Concernant Descartes, je me rappelle d'avoir expliqué à mes étudiants en T.D d'algèbre de 1 année d'université, les principes du discours de la méthode, avec un petit rappel des syllogismes d'Aristote (si tous les hommes sont mortels, ...) . Leurs réactions première étaient, comme d'habitude, soit un rejet, soit une incompréhension partielle ou totale, soit ... Puis je leur ai parlé d'un film cinématographique qu'ils avaient tous vu, ce qui est inhabituel pour un cours d'algèbre je vous l'accorde, ce film c'est la trilogie "Matrix"... Une semaine plus tard, certain de mes étudiants ont suivi mes conseils : vous lisez Descartes, puis vous regardez Matrix, le lendemain vous répétez cette procédure... jusqu'à ce que vous compreniez certaine subtilité du principe de base de Descartes :"je doute de tout"... Enfin à la fin du cours, je leur ai expliqué pourquoi le fameux "Cogito Ergo Sum" (je pense donc je suis) de Descartes, est et restera l'assertion fondamentale de la philosophie ! aussi surement que la loi de Descartes qui permet de comprendre pourquoi quand on plonge une règle dans un verre d'eau, on voit un angle...

Si vous lisez la vie de Stephen Hawkins, et certain de ces livres sur le big bang, les trous noirs... Vous aurez peut être la surprise d'apprendre que c'est d'abord en trouvant une solution mathématique à certaine équations mathématiques, qu'il a prédit qu'il y a des trous noirs dans l'univers, comme d'habitude la réaction des biens pensants étaient :"ce n'est pas possible", "c'est absurde, une telle masse dans un si petit volume", "personne n'a jamais vu cela", "les mathématiques sont juste un outil de la science physique, et pas un moyen de comprendre le réel, c'est l'observation qui est l'outil réel"et j'en passe...

Je pourrai continué pendant des heures, à vous raconté des histoires du style "la terre est plate, on le sait depuis des centaines d'années, ce n'est pas un seul mathématicien qui pourra contredire une vérité aussi évidente, d'ailleurs s'il continue on va le mettre au bûcher pour son impertinence, et on va censurer son livre rempli de formules obscures dont personne n'y comprend rien"...

Cordialement

Docteur en mathématiques et informatiques, Jean-Christophe Godin

freddy · 29-07-2011 14:35:45

Salut,

c'est dommage que tu n'en aies pas profité pour faire un troisième doctorat agrégatif relatif à la langue support de ta communication : tu y aurais gagné en clarté ;-)

A te lire,

freddy.

yoshi · 29-07-2011 16:10:19

Bonjour,

Et bienvenue sur BibM@th...Pourquoi n'oserais-tu pas ? Ce sous-forum est là pour ça.
D'ailleurs pourquoi ce verbe "oser" ?
Tu as donné ton avis, tout avis est respectable...
Si j'en crois ce que j'ai lu entre les lignes, en dehors des anecdotes, ton avis n'est pas si éloigné du mien.
A un "détail" (mot dangereusement connoté) près :

"les mathématiques sont juste un outil de la science physique

Cette formulation est gênante parce qu'ambiguë, elle pourrait laisser entendre que les maths sont aux ordres des Physiciens et n'avancent qu'au gré des demandes d'iceux !
Par contre, oui, les Physiciens (et les Biologistes) seraient fort démunis sans l'outil que constitue pour eux les mathématiques...
J'avais, moi, "osé" écrire que je considérais les Sciences Physiques comme des "mathématiques appliquées" (en prenant la formulation avec des pincettes) : le sieur Barbichu fraichement émoulu -et ô combien brillamment !- de Cachan n'était pas d'accord et avait longuement argumenté : il faut que je retrouve la discussion...

Hmmm... Vu le couplet sur Descartes, il me semble devoir préciser que je n'ai pas remis en cause la rationnalité du "discours de la méthode".
J'ai simplement signalé que les Penseurs rationnels purs et durs (des intégristes dans leur genre, quoi) étaient fortement perturbés (moi pas) par l'origine onirique de ces pensées. Et d'ajouter : et pourquoi donc ?
On pourrait d'ailleurs trouver une explication... rationnelle au phénomène !

@+

Yoshi,
très fier d'annoncer, urbi et orbi, qu'il est l'heureux impétrant du
Certificat d'Études Primaires,
son premier diplôme (format quasiment A3) - passé volontairement en classe de 4e - riche en couleurs avec le paysage local orné d'enluminures.
(A l'époque, on ne mégottait pas sur l'encre et le papier)

Combien peuvent en dire autant parmi ceux qui fréquentent le forum ? :-))

totomm · 03-08-2011 09:31:23

Bonjour,

Yoshi,
très fier d'annoncer, urbi et orbi, qu'il est l'heureux impétrant du
Certificat d'Études Primaires,
son premier diplôme (format quasiment A3) - passé volontairement en classe de 4e - riche en couleurs avec le paysage local orné d'enluminures.
(A l'époque, on ne mégottait pas sur l'encre et le papier)
Combien peuvent en dire autant parmi ceux qui fréquentent le forum ? :-))

Si on avait été admis en "Cours Complémentaire" (sur examen : Dictée, grammaire, arithmétique), On le passait obligatoirement, même si on annonçait qu'on allait passer au Collège pour "apprendre le Latin"

nerosson a dû connaître cette ancienne organisation ?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 18-04-2011 22:42:13

mathématiques et réalité

#2 19-04-2011 07:48:42

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#3 19-04-2011 11:56:51

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#4 19-04-2011 12:53:59

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#5 19-04-2011 13:58:18

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#6 19-04-2011 16:32:53

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#7 19-04-2011 16:55:23

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#9 19-04-2011 17:28:11

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#10 19-04-2011 20:20:18

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#11 19-04-2011 21:59:36

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#12 20-04-2011 12:13:21

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#13 20-04-2011 13:39:16

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#15 24-04-2011 16:03:28

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#24 29-07-2011 16:10:19

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