[Résolu] ln

laura-karine · 08-04-2011 21:04:18

Bonsoir, une petite question ..

Fonction g définie sur [[tex]\frac{1}{e }[/tex];+[tex]\infty[/tex][ par g(x)=[tex]\frac{2x}{e}-1-\ln \left(x\right)[/tex]
Il faut calculer la dérivée g'
Je ne sais pas trop comment faire car le '"e" me pose problème, je ne comprend pas comment le dériver

freddy · 08-04-2011 21:31:20

Salut,

e est comme pi, c'est une constante, donc ...

laura-karine · 08-04-2011 21:55:30

la dérivée est nulle ?

boubamane · 08-04-2011 23:49:51

Bonsoir,
Si je me rappelle bien, tu as une fois voulu dériver la fonction f définie sur I=[tex]]0;+\infty[/tex][ par : f(x)=[tex]\frac{x+\ln \left(x\right)}{x²}[/tex] et Yochi t'avait proposé pour simplifier, de faire f(x)=[tex]\frac{x+\ln \left(x\right)}{x²}[/tex][tex]=\frac 1 x + \frac{\ln(x)}{x^2}[/tex].
Le premier terme de ta fonction g d'aujourd'hui se dérive exactement de la même manière que f.
Ici aussi tu utilise [tex]{\left(\frac{u}{v}\right)}^{'}=\frac{u'\,\times \,v\,-\,v'\,\times \,u}{{v}^{2}}[/tex]
Là tu as une somme de 3 fonctions, la dérivée sera la somme des dérivées.
Par exemple [tex]g'\left(x\right)={\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}+{\left(-1\right)}^{'}+{\left(-\ln x\right)}^{'}[/tex] ou si le signe - te gène tu peux faire [tex]g'\left(x\right)={\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}-{\left(1\right)}^{'}-{\left(\ln \left(x\right)\right)}^{'}[/tex].
[tex]{\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}=\frac{{\left(2x\right)}^{'}\times \,e\,-\,{\left(e\right)}^{'}\times \,2x}{{\left(e\right)}^{2}}\,[/tex] et là je te fais remarquer que le premier terme du numérateur est nul mais le second ne l'est pas. La dérivée n'est donc pas nulle.
Allez je te laisse faire la suite c'est pas difficile tu verras. Pour t'aider un peu, (1)'=(e)'=(pi)'=....
Bonne soirée.

Dernière modification par boubamane (09-04-2011 00:42:04)

yoshi · 09-04-2011 07:13:03

Bonjour,

Je vais te rappeler cette règle essentielle des dérivées :

si f(x) est une fonction dérivable et k une constante et si je pose g(x)=k.f(x), alors g'(x)=k.f'(x).

Deux exemples classiques courants que tu connais :
[tex](2x)' = 2\times (x)' = 2\times 1=2[/tex]
[tex](\sqrt 3 \times x^4)' = \sqrt 3 \times (x^4)'= \sqrt 3 \times 4x^3[/tex]

Oui, vas-tu dire, mais il n'y a pas "e" ici... Et alors ? "e" n'est qu'un nombre (presque) comme les autres, n'est qu'un nombre réel parmi les autres...
Il ne faut pas "avoir peur" de lui !

@+

laura-karine · 13-04-2011 20:29:11

Bonsoir, j'ai bien essayé de chercher mais je n'arrive vraiment pas à m'y faire, je n'ai jamais eu ce "e" dans un exercice et j'avoue qu'il me laisse perplexe tout de même !! J'en arrive à [tex]\frac{-2x-1}{ex}[/tex] mais je crois bien que c'est faux =/

laura-karine · 13-04-2011 20:37:29

en réessayant encore une fois, j'arrive à [tex]\frac{2x-e}{ex}[/tex] ?

freddy · 13-04-2011 21:38:47

Salut,

c'est parfait !

laura-karine · 13-04-2011 21:43:38

Ah, seulement je crois avoir fais un mauvais calcul :

[tex]\frac{2e}{e²}\,-\,\frac{1}{x}\,=\,\frac{2ex-e}{e²x}\,=\,\frac{2x-e}{ex}[/tex] mais enfaite, pour mettre sur le même dénominateur j'ai multiplié 2e par x mais quand j'ai multiplié 1 par e², je n'ai mis que le e donc ..

boubamane · 13-04-2011 22:53:02

Bonsoir,laura-karine
dis-toi que tu y arriveras et ce sera chose faite.
Comme on l'a dit plus haut, [tex]g'\left(x\right)={\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}-{\left(1\right)}^{'}-{\left(\ln \left(x\right)\right)}^{'}[/tex].
rappelle-toi que la dérivée d'une constante est nulle, 1 ,0 [tex]\pi[/tex] et e sont tous des constantes. Tu as alors:
[tex]{\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}=\frac{{\left(2x\right)}^{'}\times \,e\,-\,{\left(e\right)}^{'}\times \,2x}{{\left(e\right)}^{2}}\,[/tex] [tex]=\frac{2\times e-0\times 2x}{e^2}=\frac{2\times e-0}{e^2}=\frac{2\times e}{e\times e}[/tex] et en simplifiant par e on obtient [tex]{\left(\frac{2x}{e}\right)}^{'}[/tex] [tex]=\frac{2}{e}[/tex]
[tex]{\left(1\right)}^{'}=0[/tex]
et [tex]{\left(\ln x\right)}^{'}=\frac{1}{x}[/tex]
Puis en remplaçant dans l'expression de g d'en haut ça te donne: [tex]g'\left(x\right)=\frac{2}{e}-0-\frac{1}{x}[/tex] [tex]\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{2}{e}-\frac{1}{x}=\frac{2\times x}{e\times x}-\frac{1\times e}{x\times e}[/tex]
d'où [tex]g'\left(x\right)=\frac{2\;x-e}{x.e}[/tex]
Alors ça marche? Cependant il faut toujours simplifier une fraction qui peut l'être simplifiée.
Passe une bonne soirée!!!

Dernière modification par boubamane (13-04-2011 23:38:00)

laura-karine · 13-04-2011 22:58:48

oui j'espère y arriver car j'ai l'impression d'être un cas !!!

ça ne donne pas [tex]\frac{2e}{e²}[/tex] ?

boubamane · 13-04-2011 23:35:04

Tu l'a fait toute seule tu vois. Tu es une vraie mathématicienne. Bravo!!!

laura-karine · 14-04-2011 20:21:47

Yeahhhh ^^ Oh je ne dirai pas mathématicienne, j'en suis encore bien loin =) Merci en tout cas !!

laura-karine · 14-04-2011 20:53:31

Ensuite étudier le signe et en déduire le sens de variation de g, donc [tex]2x-e\,est\,négatif\,sur\,\left[\frac{1}{e};\frac{e}{2}\right]\,et\,positif\,sur\,\left[\frac{e}{2};+\infty \right]\,\,ensuite,\,ex\,est\,toujours\,positif\,sur\,l'intervalle,[/tex][tex]donc\,le\,signe\,de\,g'\left(x\right)\,est\,négatif\,sur\,\left[\frac{1}{e};\frac{e}{2}\right]\,et\,positif\,sur\,\left[\frac{e}{2};+\infty \right][/tex] d'où, g est décroissante et croissante ?

boubamane · 14-04-2011 23:09:57

Salut,
je suis tout à fait d'accord avec toi. Sauf qu'à mon avis, tes intervalles sont [tex]\left[\frac{1}{e},\frac{e}{2}\right[ et \left]\frac{e}{2},+\infty\right[[/tex]. Donc dans [tex]\mathbb{R}[/tex]
on ne ferme pas le crochet à l'infini. Et tu calcules [tex]g\left(\frac{e}{2}\right)[/tex] [tex]\R[/tex] où on doit avoir un extrémum local et plus précisément un minimum. je te propose le tableau ci dessous:

Bonne soirée. a+

ATTENTION j'ai fait une erreur très grave et je vous présente toutes mes excuses. Le valeur qui annule la dérivée est bien [tex]\frac{e}{2}\;et\;non\;\frac{2}{e}[/tex] j'ai donc modifié le tableau de variation.

Dernière modification par boubamane (16-04-2011 00:24:16)

laura-karine · 15-04-2011 18:41:26

Salut !! Oui c'est exact je me suis trompé dans mes crochets, j'ai voulu aller trop vite .. Par contre, moi j'ai trouvé [tex]\frac{e}{2\,}\,et\,non\,pas\,\frac{2}{e}[/tex]
Super, c'est le même tableau que j'avais fais.
Effectivement, il faut ensuite calculer [tex]g\left(\frac{1}{e}\right)\,et\,g\left(\frac{e}{2}\right)[/tex] , je trouve 0,27 et -0.31
Ensuite, pour la limite de g en +inf et j'ai trouvé [tex]+\infty \,car\,somme\,de\,+\infty \,-1\,+\infty [/tex] ?

yoshi · 15-04-2011 19:44:10

Salut,

Tu nous avais écrit que tu avais trouvé [tex]\frac{2e}{e^2}[/tex]
Et bien après simplification, ça ne donne pas [tex]\frac{e}{2}[/tex], mais bien [tex]\frac{2}{e}[/tex]
En effet :
[tex]\frac{2e}{e^2}=\frac{2 \times e}{e \times e}=\frac 2 e[/tex]

Ceci posé pour la limite en +oo, ce n'est pas la somme +oo - 1 +oo, mais +oo -1 -oo
Ce qui te donne une forme indéterminée.
On lève l'indétermination :
[tex]g(x)=\frac{2x}{e}-1 - \ln(x)=x\left(\frac 2 e -\frac 1 x - \frac{\ln(x)}{x}\right)[/tex]
en mettant x en facteur.
2/e est positif, 1/x tend vers 0 et ln(x)/x tend vers 0, donc g(x) tend vers [tex]+\infty\times \frac 2 e[/tex] soit +oo...

Ça te va ?

@+

laura-karine · 15-04-2011 22:05:28

Mais je ne comprend pas, [tex]\frac{2}{e}[/tex] c'est bien dans la dérivée, mais quand je calcule la valeur qui annule pour mon tableau, je trouve [tex]\frac{e}{2}[/tex]
Oui pour la limite, mais le signe négatif devant n'a pas d'importance ?

Dernière modification par laura-karine (15-04-2011 22:06:50)

freddy · 15-04-2011 22:15:53

Salut,

oui, c'est bien la valeur qui annule la dérivée.

Pour la limite, regarde comment yoshi s'est ramené à un produit de termes tels que ce qui domine, pour x très grand, est finalement le terme en [tex]\frac{2x}{e}[/tex] qui tend vers + l'infini quand x tend vers + l'infini (car les autres termes dans la parenthèse tendent tous les deux vers 0).

laura-karine · 15-04-2011 22:22:17

donc l'intervalle est bien [tex]\frac{e}{2}[/tex] ?

Est-ce que c'est la même chose que de prendre les termes de plus haut degré ?

freddy · 15-04-2011 22:44:19

Re,

oui à la première question.

Pour la seconde, oui, c'est comme si on prenait les termes de + haut degré, mais c'est difficile de parler de degré avec x et ln(x).

On utilise en fait le théorème des croissances comparées qui énonce que x domine toujours ln(x) (avec x > 0 bien sûr).

yoshi · 16-04-2011 07:42:07

Bonjour,

Laura-karine, j'ai mal interprété ton questionnement concernant [tex]\frac e 2[/tex]...
Freddy t'a déjà rassurée...
Ta dérivée g'(x) étant [tex]g'(x)=\frac 2 e - \frac 1 x[/tex], la valeur qui annule la dérivée ne peut être que [tex]\frac e 2[/tex].
Dont acte.
D'ailleurs, en ne jetant qu'un œil rapide, j'avais entr'aperçu le tableau de Boubamane, lequel l'a modifié aujourd'hui dans la nuit...

laura-karine a écrit :

Oui pour la limite, mais le signe négatif devant n'a pas d'importance ?

Je vais donc être plus prudent, qu'est-ce tu entends par le signe devant n'a pas d'importance.
Quel signe ?
Devant quoi ?

Pour la limite, tu avais écrit : [tex]+\infty -1 +\infty[/tex] et là tu avais négligé le signe - de -ln(x). C'est cela ton "signe devant (qui) n'a pas d'importance" ?
Si oui, tu vois bien que si ! Parce que ça change tout.
Ce que tu présentes [tex]+\infty -1 +\infty[/tex] donne bien une limite en +oo, mais ta limite serait considérée comme fausse, puisque partant d'une base fausse.
Ça change tout ce - devant ln(x) parce que transformant un +oo en un -oo et le calcul de la limite donnait : [tex]+\infty -1 -\infty[/tex].
Le -1 étant négligeable dans l'addition devant les infinis on est ramené à [tex]+\infty -\infty[/tex] qui est une forme indéterminée.

C'est pourquoi j'ai mis x en facteur pour obtenir [tex]\frac{\ln(x)}{x}[/tex] dont la limite est du cours et se trouve être 0, tout comme celle de [tex]\frac{-1}{x}[/tex] quand x tend vers +oo...
[tex]g(x)=x\left(\frac 2 e -\frac 1 x -\frac{\ln(x)}{x}\right)[/tex]
Dans ma parenthèse alors, [tex]\frac 2 e[/tex] est une constante positive non nulle négligeable devant l'oo, dont je ne retiens que le signe + :
[tex]+\infty[/tex] multiplié par un nombre positif non nul donne finalement [tex]+\infty[/tex]

@+

laura-karine · 16-04-2011 10:17:41

D'accord, je comprend mieux maintenant, merci à vous pour toutes ces explications .
Boubamane, aucun problème pour votre petite erreur, ça arrive à tout le monde, et je serai mal placé de dire quelque chose car je suis la première qui en fait !!

Il faut calculer g(e) ce qui m'a donné 0 et justifier ensuite que g(x)[tex]\geq \,0\,pour\,x\,\geq \,e[/tex]. J'ai tout simplement expliqué que g(e)=0 donc si [tex]x\,\geq \,e\,,\,g\left(x\right)\,\geq \,0[/tex] .

Ensuite, montrer que g s'annule sur l'intervalle [tex]\left[\frac{1}{e};\frac{e}{2}\right][/tex] pour une valeur unique que l'on notera "alpha". Donner un encadrement de "alpha" d'amplitude [tex]1{0}^{-2}[/tex]

Sur [tex]\left[\frac{1}{e};\frac{e}{2}\right][/tex] g est continue et strictement croissante. [tex]g\left(\frac{1}{e}\right)\,=\,0.27\,et\,g\left(\frac{e}{2}\right)\,=\,-0.31[/tex] donc [tex]g\left(\frac{e}{2}\right)\,\leq \,0\,\leq \,g\left(\frac{1}{e}\right)[/tex]. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer qu'il existe une unique solution "alpha" dans [tex]\left[\frac{1}{e};\frac{e}{2}\right][/tex].
quand je regarde ma calculatrice, à x=0 il y a marqué ERREUR pour y1, est-ce normal ?
Sinon, à 0.01 j'ai 3.61 et 0.02 j'ai 2.93

freddy · 16-04-2011 10:24:16

Salut Laura,

t'es un K(rine), non ? :-))

Je te rappelle que log de 0 N'EXISTE PAS ... Heureusement que ta calculatrice s'en souvient pour toi ! ...

Y'a tonton yoshi qui va te remonter les bretelles, je ne te dis que cela !

laura-karine · 16-04-2011 10:33:23

Salut ^^, oui très bon jeu de mots et il est bien vrai =)

Oups quelle énorme erreur !!! c'est ln(1) qui est égal à 0 ?

Dernière modification par laura-karine (16-04-2011 10:33:50)

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