[Résolu] fonction ln

laura-karine · 28-03-2011 15:40:24

Bonjour, besoin d'explications ..

Soit la fonction f définie sur I=[tex]]0;+\infty [/tex][ par : f(x)=[tex]\frac{x+\ln \left(x\right)}{x²}[/tex] et Cf sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;i;j), l'unité graphique étant 2cm.

Soit h la fonction définie sur I par h(x)= -x+1-2ln(x)

1. Calculer h(1)
Je trouve donc h(1)=0

2. Etudier les variations de h (on ne demande pas les limites de h en 0 et en +[tex]\infty [/tex]
Donc là j'ai calculé la dérivée de h, ce qui me donne h'(x)=[tex]\frac{-x-2}{x}[/tex] donc j'ai fais un tableau de signes, -x-2 est négatif sur l'intervalle, x est positif sur l'intervalle, donc h'(x) est de signe négatif sur l'intervalle, d'où, h est négative sur l'intervalle et 1 est la valeur interdite. La limite à 1- je trouve -3- et à 1+ -3+

3. En déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x.
Donc sur ]-[tex]\infty [/tex];1[ h(x) est positif et sur ]1;+[tex]\infty [/tex][ h est négative.

1. Etudier les limites de f en 0 et +[tex]\infty [/tex]
Donc là je vois pas parce-que j'ai fais la limite de x+ln(x) quand x tend vers 0 et je trouve 0, ensuite la limite de x² quand x tend vers 0 je trouve 0 et donc je me retrouve avec un quotient de 0/0 donc forme indéterminé..

mathieu64 · 28-03-2011 16:07:16

Salut tu t'es trompée pour la limite de x + ln(x) en 0.

yoshi · 28-03-2011 16:23:46

RE,

donc h'(x) est de signe négatif sur l'intervalle, d'où, h est négative sur l'intervalle et 1 est la valeur interdite.

Pourquoi ça ? 1 valeur interdite pour h ? non mais 0, oui.
h négative, tu veux dire décroissante...
Ensuite les limites en 1, il n'y en a donc pas.

Question 3.
Oui pour le signe de h(x).

La limite de x + ln(x) pour x tend vers 0 est de la forme 0 -oo soit -oo...
La limite de f en 0+ est -oo ce n'est pas indéterminé
En +oo, [tex]f(x)=\frac 1 x + \frac{\ln(x)}{x^2}[/tex] et là, tu as aussi ton cours.

@+

laura-karine · 28-03-2011 16:26:28

Le reste est juste ?
la limite de x en 0 c'est bien 0, et la limite de ln(x) en 0 c'est -[tex]\infty [/tex], exact ?

yoshi · 28-03-2011 16:40:42

Salut,

Que la limite de x en 0 soit 0, c'est une tautologie...

f tend vers -00 quand x tend vers 0 et tend vers 0+ quand x tend vers +00.
Pour t'en assurer, prends ta calculette (pourquoi t'en priver ?) trace la courbe Cf et regarde...

Question 1 exacte (heureusement, hein...
Question 2 A part la valeur interdite 1, limites limites en 1 (inexistantes) et le h négative alors que c'est décroissante qu'il faut lire le reste est juste, comme indiqué dans ma réponse.
Question 3 Exacte...

Après... étrange, on se retrouve une Question 1 qui tombe du ciel comme ça, sans être introduite par quoi que ce soit...
Cette question est fausse.
La limite de h en 0, c'est en fait celle de [tex]\frac{\ln(x)}{x^2}[/tex] : il n'y a pas là de forme indéterminée ainsi que déjà dit.
La limite de h en +oo, c'est la somme des limites des 2 termes de la somme en laquelle j'ai décomposé h(x).
1/x c'est évident quant à l'autre morceau, c'est du cours...

Ça te va ?

@+

laura-karine · 28-03-2011 20:32:28

Oui en +inf c'est la limite des termes de plus haut degré ?
Je comprend pas la limite en 0 pourquoi on a le "droit" d'enlever le x ?

Et ensuite pour la question 1 c'est parce-que les trois premières questions avaient pour titre : A Etude d'une fonction auxiliaire et ensuite B Etude de f et représentation graphique donc 1) Etudier les limites ...

yoshi · 29-03-2011 08:20:24

Bonjour,

Oui en +inf c'est la limite des termes de plus haut degré ?

Quels "termes de plus haut degré" ?
Non, c'est simplement du cours :
[tex]n\in \mathbb{N}^*,\;\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(x)}{x^n}=0[/tex]
Et comme :
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac 1 x = 0[/tex]
Alors, la somme des 2 limites est 0 = 0 + 0

Je comprend pas la limite en 0 pourquoi on a le "droit" d'enlever le x ?

Je n'enlève pas le x : simplement x tend vers 0 et comme ln(x) tend vers [tex]-\infty[/tex] alors le x est "négligeable" devant le ln(x).
Si tu préfères, le numérateur x+ln(x) est tel que :
[tex]\lim_{x\to 0^+} x+\ln(x)=0+(-\infty)=-\infty[/tex]
Et comme le dénominateur x² tend vers 0+ donc devient de plus en petit, alors la limite de f est celle du quotient de x+ln(x) par x² soit -oo

Tu peux encore voir ça comme ça :
[tex]\lim_{x\to 0^+} (x+\ln(x))=-\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^2}=+\infty[/tex]
Donc
[tex]\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty \times +\infty = -\infty[/tex] puisqu'on peut écrire : [tex]f(x)=(x+\ln(x))\times \frac{1}{x^2}[/tex]

Ça te va ?

@+

laura-karine · 29-03-2011 12:33:19

D'accord je comprend mieux comme ça, une fois que l'on a bien compris "ça va tout seul".
Pour calculer f'(x), on peut utiliser [tex]\frac{\left(u'v-uv'\right)}{v²}[/tex] ?

freddy · 29-03-2011 12:55:32

Salut,

je réponds à la place de yoshi :

laura-karine a écrit :

D'accord je comprend mieux comme ça, une fois que l'on a bien compris "ça va tout seul".
Pour calculer f'(x), on peut utiliser [tex]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{\left(u'v-uv'\right)}{v²}[/tex] ?

C'est même fortement recommandé sauf qu'il faut que tu te souviennes que [tex]\left(\frac{1}{u^n}\right)'=\left(\frac{-n\times u'}{u^{n+1}}\right)[/tex]

Donc be carefull !

yoshi · 29-03-2011 12:56:43

Re,

Oui, la dérivée de de u/v se calcule bien avec [tex]\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]. Pourquoi non ?

@+

[EDit]
Salut freddy...

[tex]\left(\frac{1}{u^n}\right)'=\left(\frac{-n\times u'}{u^{n+1}}\right)[/tex]

Pour quoi faire ?... Economie (de pensée), économie : le feignant de service n'est jamais bien loin, le v'là qui ressort...
Moi, j'avais pris cette habitude :
[tex]\frac{1}{u^n}=u^{-n}[/tex], et après, je faisais comme d'hab' :
[tex](u^{-n})'=-nu'u^{-n-1}=\frac{-n\times u'}{u^{n+1}}[/tex]
Encore aujourd'hui ! On se refait pas...

@+

Dernière modification par yoshi (29-03-2011 13:04:27)

freddy · 29-03-2011 13:09:03

Salut yoshi,

pas mieux que toi, je fais pareil, mais je voulais indiquer à notre amie que le v² n'était pas si automatique que cela.

D'où ma remarque.

A plutarque !

laura-karine · 29-03-2011 16:10:20

oulala je comprend rien =/ , comment peut-on utiliser deux formules qui ont les numérateurs et dénominateurs différents ? Je n'arrive pas à expliquer ce que je ne comprend pas .. par exemple dans une formule c'est marqué que x² se dérive en v² et dans l'autre [tex]{u}^{n+1}[/tex]

laura-karine · 29-03-2011 16:14:54

bon j'ai tout de même essayer et j'arrive à
[tex]\frac{1+\left(1/x\right)\left(x²\right)-x+\ln \left(x\right)\left(-2/{x}^{3}\right)}{{x}^{4}}[/tex] ?

yoshi · 29-03-2011 16:52:32

RE,

Pouf, pouf, pouf ! ... Je vois.
Procédons avec ordre, calme et méthode :
[tex]U=x+\ln(x)\quad \text{donc}\quad U'=1+\frac 1 x =\frac{x+1}{x}[/tex]

[tex]V=x^2 \quad \quad \quad \quad \text{donc}\quad V'=2x[/tex]
D'où:
[tex]\frac{U'V-UV'}{V^2}=\frac{\dfrac{x+1}{x}\times x^2 - (x+\ln x)\times 2x}{x^4}=\frac{(x+1)x-(x+\ln x)\times 2x}{x^4}=\frac{x+1-2(x+\ln x)}{x^3}=\cdots[/tex]

@+

laura-karine · 29-03-2011 17:03:21

Re,

[tex]\frac{-x+1-2\ln x}{{x}^{3}}[/tex] ?

mais du coup on n'a pas utiliser la formule de Freddy ?

laura-karine · 29-03-2011 17:14:10

et le numérateur est le même que h(x) !!!!

laura-karine · 29-03-2011 17:25:34

pour en revenir à la question 2 , 1 est bien la valeur qui annule h(x) ?

yoshi · 29-03-2011 17:34:07

Salut,

Et oui, on retrouve au numérateur h(x)...
C'est un procédé classique, c'est pour ça qu'on ta fait étudier avant le signe de h(x) : ainsi tu pourras obtenir facilement le signe de f'(x) et donc le sens de variation de f.
Je pense que c'est ça qu'on te demande après...

Quelle formule de freddy ? Ah oui : [tex]\left(\frac{1}{U^n}\right)'[/tex]...
Non, rien à voir...
Enfin, si...
On peut retomber dessus à partir de celle du quotient ici appliquée. En effet :
[tex]N=1 \quad \quad \text{donc}\quad N'=0[/tex]
[tex]D=U^n \quad \text{donc} \quad D'=nU'U^{n-1}[/tex]
Appliquons la formule :
[tex]\frac{N'D-ND'}{D^2}=\frac{0\times U^n -1\times nU'U^{n-1}}{U^{2n}}=\frac{-nU'U^{n-1}}{U^{2n}}=\frac{-nU'}{U^{2n-(n-1)}}=\frac{-nU'}{U^{2n-n+1}}=\frac{-nU'}{U^{n+1}}[/tex]
Voilà, CQFD (en latin : QED)

Cette formule est simplement donc, un cas particulier de la dérivée de U/V quand le numérateur est 1 ou toute autre constante différente de 0 : comme ça pas besoin de refaire tout le cinéma ci-dessus...

Pigé ?

@+

[EDIT]Oui, tu avais trouvé h(1)=0 : f admet un extremum pour x = 1 puisque sa dérivée est nulle pour 1...

Dernière modification par yoshi (29-03-2011 17:35:22)

laura-karine · 29-03-2011 17:48:12

oui exact, on me demande de montrer que sur I, f'(x) a le même signe que h(x) et d'en déduire les variations de f sur I, puis dresser le tableau de variations de f.

Ah oui d'accord, je m'étais complètement emmêler avec ces deux formules, merci pour les explications

laura-karine · 29-03-2011 20:05:23

Re, on me demande de montrer que pour tout x appartenant à [1;+inf[ on a f(x)>0

je trouve ça assez "logique" puisqu'on s'interesse à un domaine positif et donc que x+ln(x) sera positif et qu'un carré est toujours positif donc f(x)>0 mais je ne sais pas trop comment le formuler

yoshi · 29-03-2011 20:07:41

RE,

Mais comme tu viens de le faire...

@+

laura-karine · 29-03-2011 20:20:20

ah je pensais que je n'étais pas très compréhensible !! Merci beaucoup ^^

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