Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Queen

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Messages : 2

Fonction polynôme et extremums locaux

Bonjour !
J'ai un devoir de maths et j'ai cherché pendant des heures la solution à cet exercice, mais je n'y arrive vraiment pas. J'ai utilisé pleins de méthodes différentes, mais impossible de trouver un résultat juste.
J'en appelles donc à votre aide pour cet exercice !

Intitulé : Déterminer une fonction polynôme de degré 3 qui admet deux extremums locaux en 0 et en 1 dont la courbe représentative dans un repère passe par les points A(0;4) et B(1;1).

Mes recherches :
f(x) est sous la forme : f(x)=ax^3 + bx² + cx + d
Je suis partie des coordonnées des points pour définir quelques résultats :
Pour le point A :
f(0)=4 donc f(0)= a0^3 + b0² + c0 + d
f(0)= 0 + 0 + 0 + d     donc d=4
Pour le point B :
f(1)=1 donc f(1)= a1^3 + b1² + c1 + d
f(1)= a + b + c + d
Vu que d=4 alors pour que f(1)=1, a+b+c= -3

Et à partir de ces résultats, j'ai fait plein de recherches mais je n'ai pas réussi à trouver quoi que se soit de juste ou de cohérent.
J'en appelles donc à votre aide.
Merci d'avance !

Queen.

Dillon

Membre

Lieu : Angers

Inscription : 27-02-2011

Messages : 72

Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Bonjour

C'est un bon début de recherche. Mais il y a une donnée que tu n'utilises pas : il y a des extremums locaux en 0 et 1.
Tu sais ce qui caractérise les extremums : la dérivée est nulle.
Reprends ton polynome sous la forme ax^3 + bx² + cx + d, calcule sa dérivée et écris qu'elle est nulle en 0 et en 1. Ça te donne 2 nouvelles équations avec les coefficients.
4 équations, 4 inconnues, ça devrait suffire.

Queen

Membre

Inscription : 03-03-2011

Messages : 2

Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Yeaaah merci, grâce à toi j'ai réussi ! Tu m'as donné juste le coup de pouce qu'il fallait, j'ai trouuuuvé !
Merci beaucoup ♥.
Mo problème est résolu ;D
Merci encore !

BEONCH

Invité

Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Bonjour,

Je ne comprend pas comment après avoir la derivée de ax^3 + bx^2 + cx + d on peut calculer la fonction polynome de degrè 3 ...

Merci de votre aide.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Bonjour,

Bonjour,

Je ne comprend pas comment après avoir la derivée de ax^3 + bx^2 + cx + d on peut calculer la fonction polynome de degrè 3

1. Déjà, on va commmencer par là : [tex]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/tex]
2. L'énoncé dit : une fonction polynôme de degré 3 qui admet deux extremums locaux en 0 et en 1
3. Ce qui signifie donc que f'(0)=0 et f'(1) = 0. D'accord ?
4. f'(0) = 0 te permet de trouver c et f'(1) = 0 te permet de trouver une relation entre a et b.
5. Si tu ajoutes à ça ce qu'avait trouvé Queen, tu devrais pouvoir aller au bout...

@+

Tarus

Invité

Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Bonsoir.
Beonch à raison même avec tes explications en plus, j'ai l'impression qu'on ne peut pas trouver puisque on trouve que f'(0) = c et que f'(1) = 3a + 2b + c
Mais après je suis perdu ...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Bonsoir,

Bin non, Beonch et toi avez tort...
Extremums locaux en 0 et 1 :
On sait que f'(0)=0 donc on a c=0
On sait que f'(1)=0 donc f'(1)=3a+2b=0 et [tex]b=-\frac 3 2 a[/tex]

Or f(0)=4
f0)=d donc d = 4
Ma fonction est donc déjà de cette forme :
[tex]f(x)=ax^3-\frac 3 2 ax^2+4[/tex]

Et il me reste f(1)=1
Ce qui me donne [tex]a-\frac 3 2 a + 4 =1[/tex]

@+

BEONCH

Invité

Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Non moi j'ai trouvé ca après que tu m'est aidé !
Je vous remerci beaucoup de m'avoir consacré un peu de votre temps. Merci encore

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

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Re : Fonction polynôme et extremums locaux

Re,

Ahhhh  : ça me rassure... !
Donc seul Tarus était dans le doute...

Le procédé est classique, souvenez-vous tous les deux : ça vous resservira à coup sûr !

@+