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florian15

Invité

math analyse fonction élémentaire

Bonjour,

J'ai un exercice ou je comprends pas tout
voici le sujet :

Soit f la fonction définie sur R par :  [tex]f\left(x\right)=\,\frac{1}{3}\cos \left(3x\right)-\frac{3}{4}\cos \left(2x \right)[/tex] .

1)Déterminer la période de f, sa parité et en déduire un intervalle d'étude I.

voici ma réponse : f est continu sur R, paire et de période 2pi.On va étudier cette fonction sur [0, pi]

2) Exprimer sin (3x) et sin (2x) en fonction de cos (x) et sin(x).

sin(3x)=3cos(x)sin(x)
sin(2x)=2cos(x)sin(x).Je me suis aider des formules de duplication.

3)Etudier les variations de f.
alors la derivée de f est  [tex]f'\left(x\right)=-\sin \left(3x\right)+\frac{3}{2}\sin \left(2x \right)[/tex] .

je pense que tout ce que j'ai fait précédemment est bon?

Voila ici je ne comprend pas :
On admettra qu'il existe un unique  [tex]{x}_{0}\in \left[\frac{pi}{2},\frac{2pi}{3}\right]\,tels\,que\,\cos \,\left({x}_{0}\right)=-\frac{1}{4}\,tels\,que\,\cos \,\left(x\right)\geq \frac{-1}{4}si\,x\in \left[0,{x}_{0}\right]et\,\cos \left(x\right)\leq \frac{-1}{4}si\,x\in \left[{x}_{0},\pi \right][/tex] 

4)calculer f(0), [tex]f\left({x}_{0}\right)et\,f\left(\pi \right)[/tex]  sous forme rationnelle

alors f(o)=1/12
et j'ai pas trouver le reste ,

5) Dresser le tableau de variation

ici je n'arrive pas

merci de m'aider
cordialement

yoshi

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Re : math analyse fonction élémentaire

Bonjour,

sin(3x)=3cos(x)sin(x)

Non, ça, c'est faux...
[tex]\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+(1-2\sin^2(x))\sin(x)[/tex]
[tex]\sin(3x)=\sin(x)[2\cos^2(x)+1-\sin^2(x)]=\sin(x)[2-2\sin^2(x)+1-2\sin^2(x)]=sin(x)[3-4\sin^2(x)]=3\sin(x)-4\sin^3(x)[/tex]

Je ne sais à quel niveau tu es. J'ai fait avec les formules de 1S.
On peut faire plus vite en TS avec la formule de Moivre par exemple.

Bon, ceci étant faux, c'est sûr que tu ne peux faire la suite...

Donc, tu n'as plus qu'à rectifier et t'y remettre...

@+

florian15

Invité

Re : math analyse fonction élémentaire

Je suis en terminal S:

merci yoshi pour votre réponse a part ceci tout etait juste?deriveé  ETC?

il me manque donc a  trouver la valeur de x0 mais je ne sais pas comment m'y prendre car même si j'avais faux a sin(3x) je pense pas qu'il y est un rapport
ainsi pour le tableau de variations je vois pas trop comment faire vu que la derivée est une somme ,

yoshi

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Re : math analyse fonction élémentaire

Re,

Voila ici je ne comprend pas :
On admettra qu'il existe un unique  [tex]{x}_{0}\in \left[\frac{pi}{2},\frac{2pi}{3}\right]\,tels\,que\,\cos \,\left({x}_{0}\right)=-\frac{1}{4}\,tels\,que\,\cos \,\left(x\right)\geq \frac{-1}{4}si\,x\in \left[0,{x}_{0}\right]et\,\cos \left(x\right)\leq \frac{-1}{4}si\,x\in \left[{x}_{0},\pi \right][/tex]

C'est écrit comme ça dans ton énoncé avec cette ponctuation et présentation ?
Parce que c'est un peu fouillis...

Fonction paire, oui, périodicité oui.
Dérivée oui.
Mais à transformer (raison d'être de la question sur sin(3x) et sin(2x)) :
[tex]f'(x)=[-3\sin(x)+4\sin^3(x)]+\frac 3 2 \times [2\sin(x)\cos(x)]=\sin(x)\times\left[-3+4 \sin^2(x)+3\cos(x)\right]=\sin(x)\times [4\sin^2(x)}+3\cos(x)-3][/tex]

Ce qui prouve que je suis allé trop loin avec sin(3x) : j'aurais dû lire le à décomposer avec sin(x) et cos(x).
Donc, bien sûr que si ton erreur t'empêche déjà de trouver le sens de variation...

Je revois et je reviens...

@+

yoshi

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Re : math analyse fonction élémentaire

RE,

Il fallait s'arrêter là :
[tex]\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+(2\cos^2(x)-1)\sin(x)=\sin(x)(2\cos^2(x)+2\cos^2(x)-1)[/tex]
Soit
[tex]\sin(3x)=\sin(x)[4\cos^2-1][/tex]
Et la dérivée devient :
[tex]f'(x)=-\sin(x)[4\cos^2-1]+3\sin(x)\cos(x)=sin(x)[-4\cos^2(x)+3\cos(x)+1][/tex]

On pouvait aussi repartir de ma formule finale et troquer le 4sin²(x) contre 4-4cos²(x)...
Bref
Signe de la dérivée : il est obtenu à partir de celui de
* sin(x) : pas de difficulté particulière
* -4cos²(x)+3cos(x)+1 : à factoriser. Une solution évidente cos(x) = 1.
    D'où -4cos²(x)+3cos(x)+1 = (4cos(x)+1)(-cos(x)+1)
    Après, étude du signe... Et coucou qui voilà ? le fameux -1/4 qui t'intriguait tant...
Allez, au taf !
Tu vois bien que ton erreur se propageait sur tout l'exo...

@+

florian15

Invité

Re : math analyse fonction élémentaire

merci
oki sa marche c'est bon finis ^^ merci