[Résolu] fonction ln

marie-chan · 25-02-2011 15:07:47

bonjour, j'ai un petit problème avec une limite: je dois trouver la limite quand x tend vers [tex]+\infty[/tex] de [tex]g\left(x\right)=x-\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)[/tex] mais je n'arrive pas à lever l'indétermination quelqu'un pourrait il m'aider s'il vous plaît.

Choukos · 25-02-2011 17:35:09

Salut !
Tu peux transformer l'écriture de g(x) afin de te ramener à utiliser le théorème des croissances comparées, [tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n}[/tex] et la limite en l'infini d'une fonction rationnelle !

marie-chan · 25-02-2011 18:10:31

j'ai essayé mais je n'ai pas réussi

Choukos · 25-02-2011 18:18:16

Re,
Factorise le tout par (x+1), c'est mieux maintenant ? :)

marie-chan · 25-02-2011 18:37:59

je trouve [tex]\left(x+1\right)\left[\frac{x}{x+1}-\ln \left(x+1\right)\right][/tex] et y a toujours une forme indéterminée pour [tex]\frac{x}{x+1}[/tex] quand x tend vers [tex]+\infty[/tex] enfin je crois

Fred · 25-02-2011 18:43:00

Bonsoir,

Sauf que quand tu as un polynôme sur un polynôme, ce n'est plus vraiment indéterminé.
Il suffit à chaque fois de mettre le terme de plus haut degré en facteur. Ici, tu obtiens :
[tex]\frac{x}{x+1}=\frac{x\times1}{x\times(1+1/x)}=\frac{1}{1+1/x}[/tex]

Et ceci n'est plus indéterminé (sa limite est 1).

Fred.

marie-chan · 25-02-2011 18:47:01

je n'avais pas pensé à faire ça merci beaucoup

Choukos · 25-02-2011 19:12:36

Re,

Je suis désolé j'ai dû t'embrouiller en te disant d'utiliser [tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n}[/tex]... je me suis trompé... :(.

Bonne soirée,
Choukos

freddy · 25-02-2011 23:52:49

Bonsoir Marie !

Donc, si tu as bien compris, tu devrais trouver [tex]-\infty[/tex] ...

A bientôt !

boubamane · 26-03-2011 00:46:17

Bonsoir Marie-chan
Comme l'a dit Freddy, en factorisant la fonction g par (x+1) tu règle facilement le problème.
x+1 va tendre vers +[tex]\infty[/tex], [tex]\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}[/tex] va tendre vers 1 et [tex]-\ln \left(x+1\right)[/tex] tendra vers [tex]-\infty[/tex].
Tu obtient donc une limite de la forme [tex]+\infty \times \left(1-\infty \right)[/tex] ce qui donne [tex]-\infty[/tex]. J'espère que tout est maintenant clair.

Boubamane

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