fonction ln

laura-karine · 07-02-2011 11:00:20

Besoin d'explications ^^
Soit f définie par f(x)=[tex]\frac{2x}{1-\ln x}[/tex]
Etudier la fonction f(tableau de variations,limites) et représenter sa courbe dans un repère.
J'ai donc dis que le domaine d'existence était ]0;e[u]e;+[tex]\infty [/tex][ car
1-lnx=0
1=lnx
lne=lnx
e=x

j'ai ensuite calculer la dérivée de la forme [tex]\frac{u}{v}[/tex] avec u=2x et u'=2, v=1-lnx et v'=-[tex]\frac{1}{x}[/tex]
f'(x)=[tex]\frac{2\left(1-\ln x\right)-2x\left(-1/x\right)}{\left(1-\ln x\right)²}[/tex]
=[tex]\frac{2-2\ln x-\left(2x/x\right)}{\left(1-\ln x²\right)}[/tex]
=[tex]\frac{2-2\ln x-2}{\left(1-\ln x\right)²}[/tex]
=[tex]\frac{-2\ln x}{\left(1-\ln x\right)²}[/tex]

C'est juste ?

Dernière modification par laura-karine (07-02-2011 11:04:11)

yoshi · 07-02-2011 12:45:57

Ave grande bosseuse !

Domaine : oui c'est juste.
Dérivée fausse.
Pas à cause des log : faute de signe (2e ligne)...

@+

laura-karine · 07-02-2011 12:51:32

[EDit]@Yoshi
Attention, ta formule ne s'affiche que s'il y a du texte (même minimum avant), c'est pourquoi tu la vois maintenant.

---------------------------------------------------------------------------

[tex]\frac{-2\ln \left(x\right)+4}{\left(1-\ln x\right)²}[/tex] ?

yoshi · 07-02-2011 13:10:38

Re,

Là, d'accord...

@+

laura-karine · 07-02-2011 13:17:54

ah d'accord, je ne savais pas
ensuite je veux faire mon tableau de signes mais je bloque pour trouver les valeurs interdites, enfaite c'est les ln qui me pose problème
il faut chercher les valeurs ou -2ln(x)+4=0 , jusque là c'est ça ?
pour [1-ln(x)]² on sait qu'un carré est toujours positif

yoshi · 07-02-2011 13:35:54

Salut m'zelle,

Alors les valeurs interdites...
0 à cause de ln(x) et celle qui annule le dénominateur, soit e.

Je mettrais quand même, même si le domaine est ]0 ; e[ U ]e ; +oo[, une double barre sous le zéro.
Oui, le dénominateur est toujours positif, donc ta dérivée est bien du signe de -2ln(x)+4...
Il va sans dire qu'il faut aussi mettre une double barre sous la valeur e.

A te lire...

laura-karine · 07-02-2011 13:43:47

donc dans mon tableau surla ligne des x, j'ai 0, e et +[tex]\infty [/tex] exacte ?

yoshi · 07-02-2011 13:46:31

Oui

laura-karine · 07-02-2011 16:20:20

voici mon tableau :

x 0 e +inf.
-2ln(x)+4 | + | -
| |
(1-ln(x))² | + | +
| |
f(x) |croissante | décroissante

yoshi · 07-02-2011 17:10:11

Bonsoir,

Encore une fois, je t'ai répondu trop vite, il manque une valeur dans ton tableau sur la ligne x : le zéro de la dérivée, c'est à dire la valeur de x qui annule le numérateur de celle-ci ?
-2 ln(x)+4 = 0 soit ln(x) = 2 et x = e²
Tableau

x 0 e e² +oo
-2ln(x)+4 || + || + 0 -
(1-ln(x))² || + || + |
|| || -2e²
f(x) || / +oo || / \
|| / || / \
|| /0 || / -oo \ -oo

Saurais-tu prouver que si x --> 0 alors 2x/(1-ln(x)) -->0, à cause de la forme indéterminée 0/oo...

@+

laura-karine · 07-02-2011 17:29:56

justement j'ai fais mes limites et je ne comprend pas comment on trouve 0 quand x-->0 car on ne peut pas prendre les termes de plus haut degrés comme on n'est pas en l'infini donc quelle est la méthode ?

yoshi · 07-02-2011 18:23:14

Re,

Pfff... J'ai besoin d'aller me coucher : 0/oo n'est pas indéterminé, ça fait zéro...
Au départ j'avais fait comme ça :
[tex] f(x)=\frac{2x}{1-\ln x}=\frac{2}{\frac 1 x - \frac{\ln(x)}{x}}[/tex]
Quand tend vers 0+ : 1/x tend vers +oo
Quand tend vers 0+ : -ln(x)/x tend vers +oo (-ln(x)/x=-ln(x) * 1/x et +oo * + oo = +oo)
donc f(x) tend vers 2/(+oo) donc vers 0+...

Tous les chemins mènent à Rome dit-on...

@+

laura-karine · 07-02-2011 18:48:03

ah donc il faut prendre f(x) sous la forme que vous avez modifié pour pouvoir faire les limites ?

yoshi · 07-02-2011 18:56:50

Re,

Oui et non...
Oui, on peut faire comme ça parce que ça marche et non c'est vraiment se compliquer la vie pour rien parce que :
2x --> 0 et 1-ln(x) --> +oo, donc f(x) tend vers 0/+oo c'est à dire 0+.
0 divisé par n'importe que nombre autre que zéro ça fait 0 : pas besoin de se torturer les méninges comme je l'avais fait...

@+

laura-karine · 07-02-2011 18:59:49

je ne comprend pas pourquoi 1-ln(x) tend vers +inf ?

freddy · 07-02-2011 19:09:00

Salut,

quand x tend vers 0+, ln(x) tend vers - oo, donc -ln(x) tend vers +oo.

c'est tout simple.

laura-karine · 07-02-2011 20:49:26

Ah merci =)
Dans une autre partie, il faut démontrer que pour tout réel x strictement positif ln x < [tex]\sqrt{x}[/tex] (on pourra étudier la fonction h définie par h(x)=ln x - [tex]\sqrt{x}[/tex])
Enfaite je ne sais pas trop comment faire pour démontrer quelque chose sans nombres "précis", comment savoir si ce que l'on démontre est toujours valable

freddy · 07-02-2011 21:24:52

Re,

justement, en étudiant la fonction h pour x > 0, tu vas établir que h(x) < 0, et donc que [tex]lnx < \sqrt{x}[/tex] ...

C'est comme ça qu'on fait pour prouver que c'est vrai pour tout x > 0

laura-karine · 07-02-2011 23:05:43

au lieu de calculer la dérivée etc, je peux utiliser la somme de fonctions composées pour voir si elle est croissante ou décroissante ?

freddy · 07-02-2011 23:30:01

Re,

fais au mieux et comme tu veux, il faut que tu établisses logiquement et rigoureusement le résultat.

yoshi · 09-02-2011 18:13:40

Salut,

Hey laura-karine, tu sèches ?
Il faut 3 min via la dérivée :
calcul, signe, sens de variation de la fonction et signe du maximum...

@+

laura-karine · 10-02-2011 11:11:09

salut ^^
bein j'ai d'abord fais avec le sens de variation de fonctions composés et j'ai trouvé que ln(x) est croissante sur [0:+inf[ et que -Racine(x) est décroissante sur [0;+inf[ donc par composés, h(x) est décroissante .

mais je vais essayer avec la dérivée tout de suite !!

laura-karine · 10-02-2011 11:34:50

alors la dérivée je trouve [tex]\frac{1}{x}\,-\,\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex] donc [tex]\frac{2\sqrt{x}-x}{x\left(2\sqrt{x}\right)}[/tex] et je trouve la fonction croissante de 0 à 4 et décroissante de 4 à +inf ?

yoshi · 10-02-2011 11:49:57

Re;

Oui, et maintenant ce qui est intéressant pour toi est le signe du maximum atteint pour x = 4 (dérivée nulle), soit :
[tex]\ln(4)-\sqrt 4=2\ln 2-2[/tex]

@+

laura-karine · 10-02-2011 22:37:45

mais en quoi cela démontre que ln(x) < Racine(x) ?

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