Logarithme (suite)

laura-karine · 05-02-2011 00:42:42

Bonsoir ,,
Soit g la fonction définie et dérivable sur l'intervalle I=]-4;2[ telle que
g(x) = (x+4)ln(x+4) + (2-x)ln(2-x)
Il faut calculer g'(x)
Donc, g'(x)= [tex]\frac{g'\left(x\right)}{g\left(x\right)}[/tex]

[tex]\frac{\left(x+4\right)+\left(x+4\right)\,-\,1\left(2-x\right)-1\left(2-x\right)}{\left(x+4\right)\left(x+4\right)\,+\,\left(2-x\right)\left(2-x\right)}[/tex]

[tex]\frac{-\left(2-x\right)-\left(2-x\right)}{\left(2-x\right)\left(2-x\right)}[/tex]

[tex]\frac{-2\,+x\,-2\,+x}{\left(2-x\right)\left(2-x\right)}[/tex]

[tex]\frac{2x-4}{{\left(2-x\right)}^{²}}[/tex]

C'est juste ?

yoshi · 05-02-2011 08:57:23

Bonjour,

Donc [tex]g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}[/tex]

Pourquoi cela ?
Pourquoi Donc ?

Moi, je travaillerai "bêtement" :
[tex]f(x)=(x+4)\ln(x+4)\;\Rightarrow\; f'(x)=1\times \ln(x+4)+(x+4)\times \frac{1}{x+4}=\ln(x+4)+1[/tex]

[tex]h(x)=(2-x)\ln(2-x)\;\Rightarrow\; f'(x)=-1\times \ln(2-x)+(2-x)\times \frac{-1}{2-x}=-\ln(2-x)-1[/tex]

Et :
[tex]g'(x)=f'(x)+h'(x)=\ln(x-4)+1-\ln(2-x)-1=\ln(x-4)-\ln(2-x)[/tex]

@+

laura-karine · 05-02-2011 09:57:09

Ah d'accord je ne savais pas que l'on pouvait faire comme ça car dans mon cours je n'ai que la formule
f'(x)=[tex]\frac{u'\left(x)\right)}{u\left(x\right)}[/tex] donc je pensais qu'il fallait appliquer cette formule tout le temps .

laura-karine · 05-02-2011 10:10:01

J'ai donc refais le calcul ,je trouve bien pareil, juste une petite question : la dérivée de ln(x+4) c'est donc [tex]\frac{1}{x+4}[/tex] et à chaque fois que l'on a ln de quelque chose on met toujours 1 diviser par ce quelque chose, enfin je ne sais pas si je suis bien claire !!
et pour passer de (x+4)*[tex]\frac{1}{x+4}[/tex] à 1, on a simplifier par x+4 ?

freddy · 05-02-2011 10:15:49

Salut,

non, la dérivée de ln(u) = u'/u mais si u = x, alors u'=1 donc tu retrouves 1/x.

laura-karine · 05-02-2011 10:22:35

Très bien, merci !!
Il faut maintenant en déduire la primitive F de la fonction f définie sur I par f(x)=[tex]\ln \left(\frac{x+4}{2-x}\right)[/tex] et telle que F(1)=ln(125)

Alors là, problème, je pensais calculer la dérivée de f(x) ?

laura-karine · 05-02-2011 10:26:47

Ah noon, comme ln [tex]\frac{a}{b}[/tex] = ln(a) - ln(b) , ln[tex]\left(\frac{x+4}{2-x}\right)[/tex] = ln(x+4) - ln(2-x) !! Et donc la primitive c'est le resultat que l'on a toruvé avant, à savoir ln((x+4) - ln(2-x)

yoshi · 05-02-2011 11:53:33

Re,
1. Tu ne dois jamais oublier que toutes les primitives sont calculées à une constante près... C'est pour ça qu'on te précise F(1)=125 pour que tu puisses déterminer la valeur de cette constante...
2. Je crains que tu ne te sois "mélangé les crayons"...
On t'a demandé de calculer : [tex]g'(x)\;avec\;g(x)=(x+4)\ln(x+4)+(2-x)\ln(2-x)[/tex]
Ok ?
Et tu as trouvé [tex]g'(x)=\ln(x+4)-\ln(2-x)[/tex]...
Tu suis toujours ?
Maintenant on te demande la primitive F(x) de [tex]\ln(x+4)-\ln(x+2)[/tex] telle que F(1)=125
D'où [tex]F(x)=(x+4)\ln(x+4)+(2-x)\ln(2-x)+c[/tex] c étant la constante...
Maintenant tu dois déterminer c...

@+

laura-karine · 05-02-2011 12:57:33

et quand je remplace x par 1 je dois trouver 125 c'est ça ?

yoshi · 05-02-2011 13:27:11

Re,

Oui.

@+

laura-karine · 05-02-2011 13:41:15

Je résoud l'équation F(x)= (x+4)ln(x+4)+(2-x)ln(2-x)+c
(1+4)ln(1+4)+(2-1)ln(2-1)+c=ln 125 ?

yoshi · 05-02-2011 13:46:06

Re bonjour,

Non.

laura-karine a écrit :

et quand je remplace x par 1 je dois trouver 125 c'est ça ?

J'ai répondu oui.

L'énoncé dit :

F(1)=125

Qu'attends-tu pour écrire F(1) et l'égaler à 125 ?

laura-karine · 05-02-2011 13:49:20

Olala c'est trop compliqué =(
Dans les termes de gauches, je dois garder les ln ?

yoshi · 05-02-2011 14:45:47

Re,

Ressaisis-toi...
Pas la peine de te faire peur, tu vas t'en rendre compte.
On sait que [tex]F(x)=(x+4)\ln(x+4)+(2-x)\ln(2-x)+c[/tex]
Quelle est l'expression de F(1) en fonction de c ?
Réponse :
On a [tex]F(1)=(1+4)\ln(1+4)+(2-1)\ln(2-1)+c =....[/tex]
A toi de finir le calcul...
Cela fait, tu écris que F(1)=125... 125 dit l'énoncé, pas ln(125) ou autre chose : équation du 1er degré à une inconnue : c...

Ça y est tu es de nouveau sur les rails ?

@+

laura-karine · 05-02-2011 14:50:54

mais alors pourquoi dans l'énoncé c'est marqué que l'on cherche F(1) = ln(125) ?

yoshi · 05-02-2011 14:59:20

Re,

Désolé, toutes mes excuses : mes lunettes me jouent des tours...
Oui, c'est bien F(1)=ln(125)...
Tu donc tu dois écrire que ton expression en fonction de c est égale ln(125), la valeur de c n'en sera d'ailleurs que plus simple ;-)

@+

laura-karine · 05-02-2011 18:51:31

=) ln(125) c'est égale à 3ln(5) c'est exact ?
c'est plus simple que je garde cette forme pour trouver c ?

yoshi · 05-02-2011 18:56:08

Re,

Oui, pour les 2 questions...

@+

laura-karine · 06-02-2011 16:03:50

Re, j'arrive vraiment pas, si vous pouviez m'aider svp ..

yoshi · 06-02-2011 16:48:56

Bonhour,

Bon, tu vas t'en vouloir parce qu'est très très simple, je te l'ai déjà dit...
On a :
[tex]F(x)=(x+4)\ln(x+4)+(2-x)\ln(2-x)+c[/tex]
D'accord ?

D'où
[tex]F(1)=(1+4)\ln(1+4)+(2-1)\ln(2-1)+c=5\ln(5)+\ln(1)+c=5\ln(5)+c[/tex]
ln(1)=0, s'pas ...

On continue en disant que F(1)=ln(125)=3ln(5) :
[tex]5\ln(5)+c=3\ln(5)[/tex]
Faut vraiment que je continue ? ;-)

@+

laura-karine · 06-02-2011 16:56:28

olala suis-je bête !!! c= -2ln(5) !!

laura-karine · 06-02-2011 17:13:53

Dans le même exercice mais qui n'a rien à voir avec les questions précédentes, il faut simplifier ln(12e)+ln[tex]\frac{e²}{3}[/tex] , il faut que j"enlève" les ln en quelque sorte ?

Choukos · 06-02-2011 17:36:47

Salut !

Quelques indices :
ln(a)+ln(b) = ?
ln(a^n) = ?
à toi de jouer ... :)

Choukos

laura-karine · 06-02-2011 17:39:56

alors, ln12e*[tex]\frac{2{\ln }^{e}}{3}[/tex] ?

yoshi · 06-02-2011 17:41:47

Re,

Je t'avais prévenue que c'était tout bête ... ;-)
Bon oui, il faut
1. enlever les ln sur [tex]\ln\left(\frac{e^2}{3}\right)[/tex]
2. simplifier au maximum [tex]\ln(12e)[/tex] en commençant par séparer [tex]\ln(12e)=\ln(12)+\ln(e)[/tex]

Autre technique : recomposer pour mieux simplifier...
[tex]\ln(12e)+\ln\left(\frac{e^2}{3}\right)=\ln\left(12e\times\frac{e^2}{3}\right)[/tex]
Tu simplifies alors ra parenthèse et tu redécomposes...

Un bon entraînement (c'est vite fait) serait de faire les 2
1. Pour voir ce qui te convient le mieux,
2. Pour voir si tu obtiens le même résultat ;-)

@+

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