Logarithme

laura-karine · 04-02-2011 17:44:28

Bonjour à tous, besoin d'aide pour les fonctions logarithmes !!

Résoudre dans R : [tex]x²-4x-5=0[/tex]
j'ai calculé delta ce qui fait 36
x1=-1 et x2=5
S={-1;5}

En déduire la résolution dans R des équations suivantes :
ln(x-3)+ln(x-1)=3ln2
donc j'ai fais, ln(x-3)+ln(x-1)=3ln2 existe si x>3 car ln(x-3) existe si x>3 et ln(x-1) existe si x>1
[tex]Df=]3;+\infty[/tex][
L'équation équivaut à ln(x-3)(x-1) =ln([tex]{2}^{3}[/tex]
(x-3)(x-1) = 8
x²-x-3x+3= 8
x²-4x+3 = 8
x²-4x = 8-3
x²-4x = 5
x(x-4) = 5
équation produit donc x=5 ou x-4=5
x=9

S={5;9}

(lnx)² - 4lnx - 5 = 0
L'équation existe pour x²>0 et x>0 donc Df=R+*
(lnx)² = 4lnx+5
2lnx = 4lnx+5
Et là, je bloque ..

freddy · 04-02-2011 17:54:06

Salut,

attention, c'est lnx qui est au carré, donc il faut que x > 0

Ensuite, fais le changement de variable : X=ln(x) et tu vas voir apparaître une équation connue.

A la fin, pense bien à exprimer les solutions en x, et non pas X !

Bon courage.

Dernière modification par freddy (04-02-2011 17:54:20)

yoshi · 04-02-2011 17:55:41

Re,

Les logarithmes ne sont peut-être pas en cause vois-tu...
Parce que voila qui me fait dresser les cheveux sur la tête :

x(x-4) = 5
équation produit donc x=5 ou x-4=5
x=9

Non... Pas du tout Il y a une équation-produit que si le 2e membre est nul...

[tex]x(x-4)=5\;\Leftrightarrow\; x^2-4x-5=0[/tex] ...

2e exo : il confirme ma remarque.
[tex]x\in]0;+\infty[[/tex]
Tu poses X = ln x
Et tu obtiens :
X ²- 4X - 5 = 0

Au passage :
2ln x c'est ln (x²) soit ln(x * x)=ln x + ln x
Par contre (ln x)² = ln x * ln x...

@+

[EDit]
Grillé par freddy, mais je suis plus complet... Nanana nanèreu... ;-)

Dernière modification par yoshi (04-02-2011 17:56:58)

freddy · 04-02-2011 17:58:34

Re,

pour l'équation ln(x-3)+ ln(x-1)=3ln2, tu as fait une petite erreur.

tu as bien trouvé le domaine de résolution, mais ensuite tu as :

[tex](x-3)(x-1)=8 \Leftrightarrow x^2-4x-5=0[/tex] que tu as déjà résolu.

Comme il faut que x > 3, tu ne peux retenir que la solution x = 5 !

laura-karine · 04-02-2011 21:15:27

Exact, je ne peux pas prendre -1.
j'ai repris la deuxième équation qui était donc (lnx)² - 4lnx - 5 = 0
lnx * lnx - 4lnx - 5 = 0
lnx * lnx = 4lnx + 5
Est-ce une bonne chose de passer le 4lnx et le 5 de l'autre côté pour ne plus avoir de "-" ?

yoshi · 04-02-2011 21:37:15

Re,

Est-ce une bonne chose de passer le 4lnx et le 5 de l'autre côté pour ne plus avoir de "-" ?

Heu... M'zelle, faut relever le nez du guidon de temps en temps, hein et prendre un peu de hauteur ;-)
freddy et moi avons déjà répondu à cette question.
Non, il ne faut pas faire comme ça...
Tu dois poser un changement de variable : X = ln x.
Ton équation devient alors :
X² - 4X - 5 = 0 équation qu'on t'a demandée de résoudre au tout début (relis mon post #3)
Ce qui te donne 2 solutions pour X = -1 et 5.
Mais ce n'est pas X qui attendu mais x...

Et cette fois tu continues en résolvant ln x = -1 et ln x = 5 et là, tu as bien 2 solutions pour x....

C'est bon ?

@+

laura-karine · 04-02-2011 21:39:40

Mais pourtant c'est écrit dans mon cours qu'il faut toujours y passer de l'autre côté pour justement éliminer cela. Mais c'est quoi un changement de variable ? Je comprend vraiment rien, désolé

yoshi · 04-02-2011 22:10:34

Re,

Bon...
En gros, on fait un changement de variable (de notation si ça te parle plus) pour simplifier une équation, une intégrale, une équation différentielle, une formule pour le calcul d'une limite, pour se ramener à quelque chode de connu et de plus simple...
Donc, on remplace ln(x) par X et on résout
X²-4X-5=0
qui donne X = - 1 et X = 5.
X =-1 --> ln(x)=-1
X = 5 --> ln(x) = 5

Le problème est ici qu'il y un log carré, alors tu reviens comment à ln x après avec ta méthode ?
C'est un peu comme si tu demandais :
Alors pour résoudre x²-4x-5=0 c'est bon si je fais : x²=4x+5 pour éliminer le - ? >>
Tu ferais comment pour trouver x ?

Autre exemple : résoudre [tex]x^4-5x^2+4=0[/tex] équation du 4e degré !!!
Là, on pose X = x², ce qui nous ramène à X²-5X²+4 = 0 qu'on sait résoudre :
(X-1)(X-4)=0 et on revient à x : (x²-1)(x²-4)=0

Dernier exemple [tex]e^{2x}-5e^x+4=0[/tex]
Là encore, changement de variable X = e^x et l'équation devient X² - 5X +4 = 0 : ça, on sait résoudre :
X =1 et X =4.
Et tu repasses à la variable d'origine, ce qui te conduit à étudier maintenant les équations
[tex]e^x=1\;\;et\;\;e^x=4[/tex].

Si tu avais eu à résoudre :
[tex]\ln(x-1)-\ln(x)-5=0[/tex] tu aurais pu écrire : [tex]\ln(x-1)=\ln(x)+5 \;\Leftrightarrow\;\ln(x-1)=\ln(x)+\n(e^5)|/tex]
Ou encore :
[tex]\ln(x-1)=\ln(xe^5)[/tex]...

Revenons à nos moutons...
En fait, je m'aperçois (avec l'exemple ci-dessus) que, si, tu pouvais procéder à ta façon, mais c'est bien plus compliqué (et pas classique comme procédé : la preuve : freddy et moi on a eu spontanément la même idée) :
[tex]\ln(x^2)=4\ln(x)+5\;\Leftrightarrow\;\ln(x^2)=\ln(x^4)+\ln(e^5)[/tex]
Soit :
[tex]\ln(x^2)=\ln(x^4e^5)[/tex]
Et donc [tex]x^2=x^4e^5[/tex]

Regroupement dans le même membre, factorisation :
[tex]x^2(x^2e^5-1)=0[/tex] équation-produit... ;-)
[tex]x²=0\; et\; x^2=e^{-5}[/tex] et tu retombes sur les mêmes solutions que celles que tu aurais trouvées avec l'autre méthode.

C'est plus clair ?

@+

laura-karine · 04-02-2011 22:24:35

Oui j'en ai l'impression en tout cas ^^
Alors on pose X=lnx avec x>0
donc X² - 4X - 5 = 0
Delta = 36
X = -1
lnx = -1
x=[tex]{e}^{-1}[/tex] = [tex]\frac{1}{e}[/tex]

X=5
lnx=5
x=[tex]{e}^{5}[/tex]

C'est juste ou je suis parti trop loin ?? lol

yoshi · 04-02-2011 22:36:24

Re,

Oui, c'est bon...
Pas besoin de refaire le discriminant. Il suffit de dire : d'après la 1ere question, on sait que X=-1 et X = 5 et continuer avec ln x...

Mais je me suis aperçu que ma résolution à ta façon dans mon post précédent était fausse, ce qui tendrait à prouver qu'il n'y a bien qu'une méthode de résoluion, celle qu'on t'a donnée freddy et moi...
C'est quand même bizarre c't'histoire !
Je verrais demain pourquoi, ce soir je fatigue.

@+

[EDIT] Pas besoin d'attendre demain, j'ai trouvé !
J'ai remplacé (ln(x))² par ln(x²) ce qui est faux...
Donc l'analogie avec la tentative de résolution de x²-4x-5 = 0 par remplacement par x²=4x+5 était pertinente...
Il n'y a qu'une résolution possible : passer par le changement de variable.

Dernière modification par yoshi (04-02-2011 22:44:17)

laura-karine · 04-02-2011 22:42:11

ahh merci merci beaucoup !!
En effet, celle-là est beaucoup plus simple !!
Il faut ensuite que je détermine le signe de l'expression définie sur ]0;+[tex]\infty[/tex][ par :
P(x) = (x² - 4x - 5) lnx

je n'ai plus qu'à faire mon tableau de signes avec les deux racines trouvées juste avant c'est ça ?

freddy · 04-02-2011 22:54:23

Re,

oui, c'est ça.

Montres moi si tu veux, je m'endors très tard !

yoshi · 04-02-2011 22:57:03

Re,

Oui et non...
Il n'y a qu'une racine que tu peux garder : x = 5...
Cela dit, attention que que lnx <0 sur ]0 ; 1[ et >0 sur ]1 ; +oo[... Donc tu dois aussi tenir compte du +1...
Donc tu vas avoir 3 zones ]0 ; 1] ; [1 ; 5] ; [5 ; +oo[...

Relis mon post précédent : j'ai trouvé, ce que j'avais fait "à ta façon" était bien faux, impossible de faire comme ça...

@+

laura-karine · 04-02-2011 23:24:24

je ne comprend pas bien si je dois mettre dans mon tableau les racines -1 et 5 enfin que 5 vu que ce n'est pas défini pour -1 ou bien 1/e et [tex]{e}^{5}[/tex] ?

D'accord je vais relire.

freddy · 05-02-2011 00:07:00

Re,

fais attention, on te demande le tableau des signes pour x > 0 !...

Ensuite, tu as un produit de termes, dont un qui s'annule pour x=5 et un autre qui s'annule pour x=1.

Donc ton tableau concerne x compris entre ]0, 1][1, 5][5, + infty [ ....

Etudie le signe de chaque terme du produit dans cet intervalle (n'oublie pas que lnx <0 si 0<x<1) ...

Dernière modification par freddy (05-02-2011 00:07:23)

laura-karine · 05-02-2011 00:24:54

Ah oui d'accord alors j'ai fais :

x 0 1 5 [tex]+\infty[/tex]
----------------------------------------------------------------
x²-4x-5 - - 0 +

lnx - 0 + +

P + 0 - 0 +

donc, P(x) est positif à l'exterieur des racines et négatif à l'interieur c'est à dire, entre [0;1]U[5;+[tex]\infty[/tex][

laura-karine · 05-02-2011 00:28:50

euuh ]0;1[u]5;+[tex]\infty [/tex][

yoshi · 05-02-2011 18:53:18

Re,

laura-karine a écrit :

Il faut ensuite que je détermine le signe de l'expression définie sur ]0;+oo[ par : (...)

Si la question est bien celle-ci, tu peux effectivement conclure que

P(x)>0 pour [tex]x\,\in\,]0\;;\;1[\;\cup\;]5\;;\;+\infty[[/tex]
P(x)<0 pour [tex]x\,\in\,]1\;;\;5[[/tex]

@+

laura-karine · 06-02-2011 16:05:16

Merci =)

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