Les suites

laura-karine · 19-01-2011 16:52:43

Bonjour, j'aimerais qu'on me dise si mon exercice est juste et éventuellement m'aider à trouver quelques réponses.
Alors, le revenu disponible des ménages en France était de 951.3 milliards d'euros en 2001 et de [tex]988.1\times {10}^{9}[/tex] euros en 2002.
1. Justifier que le revenu a augmenté de 3.87% entre 2001 et 2002.
Donc j'ai fais [tex]\frac{988.1}{951.3}[/tex] -1X100 = 3.87%

2. On fait l'hypothèse que le revenu progresse chaque année depuis 2000 de 3.87%. On note Un le revenu de l'année 2000+n en milliards d'euros. Ainsi, U1=951.3
a)Exprimer Un en fonction de n.Calculer le revenu que l'on peut prévoir en 2010
Donc j'ai fais Un=U1+(n-1)r donc Un=951.3+(n-1)x36.8
Ensuite, U10=951.3+(9x36.8)=1282.5 milliards d'euros
Est-ce juste pour le moment ?

b) A l'aide de la calculatrice, déterminer l'année où le revenu devient supérieur à 1,150x[tex]1{0}^{12}[/tex] euros.
Là je n'arrive pas bien à faire ,si quelqu'un peut me mettre sur la piste

yoshi · 19-01-2011 19:52:03

Bonsoir,

1. ok...
Sauf que
[tex]\frac{988.1}{951.3}-1\times 100[/tex] est une écriture fausse, attention !
Pour t'en convaincre, prends ta calculette et tape :
[tex]988.1 \div 951.3 -1 \times 100\;EXE[/tex] et je te paie des nèfles si ta calculette répond 3.7 !!!

Rassure-toi, j'ai bien compris que c'est cela que tu voulais dire :
[tex]\left(\frac{988.1}{951.3}-1\right)\times 100[/tex]

2.a) Pas d'accord...
Pour t'en convaincre, cherche donc de combien aura augmenté ce revenu en 2003 avec [tex]988.1 \times 3.87%[/tex] et tu verras que ce n'est pas 36.8...
Si le revenu augmente de 3,87 % chaque année, ceci signifie que :
U2 = U1 +U1 * 3.87 % = U1+U1*0.0387 = U1*(1+0.0387) = U1*1.0387
U3 = U2 +U2 * 3.87 % = U2+U2*0.0387 = U2*(1+0.0387) = U2*1.0387
Ou encore puisque U2=U1*1.0387 : U3=U1*1.0387²
Je te laisse poursuivre le raisonnement...

2.b)
Simplement résoudre une inéquation : [tex]U_n>1.150 \times 10^{12}[/tex] et là tu vas avoir besoin de la fonction logarithme...

Dans l'éditeur d'équations, la multiplication, ce n'est pas x ou X mais *... ;-)

@+

laura-karine · 19-01-2011 22:30:25

Oui désolé d'avoir oublié les parenthèses =)
Pour la question 2)a. je regarde tout ça demain pour voir si j'ai bien compris mais pour la 2)b. je n'ai pas encore vu la fonction logarithme, enfin là c'est un exercice que je fais en spécialité math, et en cours "normal" de math je viens juste de commencer le chapitre sur la fonction log.

yoshi · 19-01-2011 23:19:31

Bonsoir,

Ok, alors pour débroussailler un peu tout ça :
* La fonction logarithme est définie croissante sur ]0 ; +oo[ : d'où avec a > b tu peux déduire que ln(a)> ln(b)
* Dans ton inéquation figurent un produit et une puissance, en outre l'inconnue figure dans l'exposant.
Or :
- ln(a * b) = ln(a) +ln(b)
- [tex]\ln(a^n)= n\ln(a)[/tex]

Et tu verras lorsque tu auras écrit ton inéquation que le seul moyen d'arriver à la résoudre très vide et donc d'obtenir une réponse du type n>a, où a est un nombre réel, est de passer par le log.
Après on te demande un nombre entier d'années et a ne sera pas entier, donc tu devras "adapter" la réponse à donner, à partir du résultat a...

@+

laura-karine · 20-01-2011 20:08:19

Bonsoir
Ok je vais essayer avec ce raisonnement
Par contre je ne comprend pas dans le 2)a. pourquoi il faut ajouter 1 à 0.0387 ?

yoshi · 20-01-2011 20:30:20

Re,

C'est tellement simple que c'est pour ça que ça t'échappe...
1. D'abord, c'est une formule, la même que pour la calcul des Intérêts composé,
2. Si je peux me passer des formules, alors je n'hésite pas, donc...
L'augmentation par rapport à U1 se calcule par U1*0.0387, d'accord
Le nouveau revenu est U2 = U1 + U1*0.0387, toujours d'accord ?
Et maintenant que fait-on ? Bin... on met U1 en facteur commun ;-)
Donc U2 = U1(1 +0.0387) = U1*1.0387.
C'est bon, cette fois ?

Quant à la réponse attendue, c'est n>5.99... soit 6 ans.

@+

laura-karine · 20-01-2011 20:41:31

aaaah d'accord, c'est bon maintenant, merci pour l'explication =)

Alors je vais le faire pour voir si je trouve ça

laura-karine · 20-01-2011 20:43:22

donc quand on me demande d'exprimer Un en fonction de n, il faut faire Un+1=Un(1+r) ?

laura-karine · 20-01-2011 20:51:24

pour le revenu de l'année 2010 je trouve 1338.84 milliards d'euros .

yoshi · 20-01-2011 20:58:12

Re,
Dans mon post #2, je t'avais montré que :
[tex]U_2 = U_1\times 1.0387[/tex]
[tex]U3= U_1\times 1.0387^2[/tex]
Tu vois bien que la raison r n'est pas 0.0387, mais 1.0387
Il s'agit d'une suite géométrique de 1er terme U1 et de raison 1.0387

Allez, le suivant :
[tex]U4= U_3\times 1.0387 = U_1\times 1.0387^3[/tex]
1338.84 Milliards d'euros oui c'est juste...
Ta formulation est imprécise, voire incorrecte au niveau de la raison, mais les calculs sont bons...

Enfin, d'autre part, ce n'est pas pas obligatoire, mais la raison d'une suite arithmétique est traditionnellement désignée par la lettre r, celle d'une suite géométrique par la lettre q...

@+

laura-karine · 20-01-2011 21:12:24

grr je m'embrouille !!! [tex]Un+1=Un X {q}^{n-1}[/tex] ?? dites-moi que c'est juste !! lol

laura-karine · 20-01-2011 21:16:22

ah non non, [tex]Un=U1\,X\,{q}^{n-1}[/tex] là je crois que c'est juste =D

yoshi · 20-01-2011 21:24:31

Re,

Oui
[tex]U_n=U_1\times q^{n-1}[/tex]

Si tu ne trouves pas la multiplication, symbole *, dans l'éditeur d'équations, alors quand tu as fini de taper ta formule, tu remplaces ton X par \times (=fois, en anglais).

@+

laura-karine · 20-01-2011 21:32:37

Ah bah enfin j'y suis arrivée
Oui merci je ne le trouvais pas effectivement.
J'ai fais un autre exercice pour mentrainer mais il n'est pas corrigé dans mon livre, il faut que j'ouvre une nouvelle discussion ,

laura-karine · 20-01-2011 21:34:22

je voulais mettre un point d'interrogation désolé

yoshi · 20-01-2011 21:35:31

Re,

Du calme...
As-tu trouvé n = 6 ?

@+

laura-karine · 20-01-2011 21:40:17

avec la méthode de la fonction log non mais avec la suite je trouve u6=1150.19

yoshi · 20-01-2011 22:33:52

Re,

Alors, voilà :
[tex]U_n=951.3\times 10^9\times 1.0387^{n-1}[/tex]
Donc tu cherches n tel que :
[tex]951.3\times 10^9\times 1.0387^{n-1}>1.15\times 10^{12}[/tex]
Je commence par simplifier en divisant les deux membres par 10^9 :
[tex]951.3\times 1.0387^{n-1}>1.15\times 10^3[/tex]
D'où :
[tex]\ln(951.3\times 1.0387^{n-1})>\ln(1.15\times 10^3)[/tex]
Ce qui te donne :
[tex]\ln(951.3)+\ln( 1.0387^{n-1})>\ln(1.15\times 10^3)[/tex]
Ou encore :
[tex]\ln(951.3)+(n-1)\ln( 1.0387)>\ln(1.15\times 10^3)[/tex]
Et on résout :
[tex](n-1)\ln( 1.0387)>\ln(1.15\times 10^3)-\ln(951.3)[/tex]
Soit :
[tex]n>\frac{\ln(1.15\times 10^3)-\ln(951.3)}{\ln(1.0387)}+1[/tex]

ln(1.0387)>ln(1) donc pas besoin de changer l'ordre puisque division par un nombre positif...

@+

laura-karine · 20-01-2011 22:35:08

Whaou vivement que je fasse cette leçon parce-que là j'y trouve vraiment compliqué !! Mais merci de l'aide ;)

yoshi · 20-01-2011 22:39:57

Re,

Mais non, mais non...

Je te l'ai dit, je n'ai utilisé que 2 règles !
[tex]1.\;\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)[/tex]
[tex]2.\;\ln(a^n)=n\times\ln(a)[/tex] celle-ci découlant de la 1ere...

@+

laura-karine · 20-01-2011 22:42:03

Je serais en avance sur les autres comme ça ^^
Il faut bien des gens comme vous pour essayer de faire comprendre les math à des gens comme moi, je suis vraiment contente d'avoir trouvé ce site !!

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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