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alucard_xs

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dérivabilité d'une fonction [Résolu]

Bonjour à tous,

je cherche à montrer que f définie comme suit est dérivable sur R

[tex]\forall x\noteq 0,\,f\left(x\right)=e\left(-1/x²\right)\,et\,pour\,x=0,\,f\left(x\right)=0[/tex]

je passe par la définition d'une fonction dérivable, soit la limite de f(x)-f(0) sur (x-0) mais je me trouve coinçé ensuite par la limite de (1/x).exp(-1/x²)...

suis-je déjà sur la bonne voie ?

Merci ;)

freddy

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Re : dérivabilité d'une fonction [Résolu]

Salut,

oui, mais pourquoi t'arrêtes tu sur x=0 ? Est elle dérivable sur R* ? Est elle continue en x= 0 ?

Sinon, pour ton quotient, un petit changement de variable pourrait t'aider ...

alucard_xs

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Re : dérivabilité d'une fonction [Résolu]

puisqu'on prolonge f par continuité en 0 et que f(x)=exp(-1/x²) est continue sur R-{0} (fonction composée) alors f est continue sur R.
par contre le changement de variable, il est surement simple mais je ne le trouve pas ...

freddy

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Re : dérivabilité d'une fonction [Résolu]

Ok pour la réponse ...

sinon, que penses tu de [tex]y=\frac1x[/tex] avec un calcul à droite de 0 et à gauche de 0, soit en calculant la limite quand y tend vers + infini puis quand y tend vers - infini de :

[tex]y\times exp(-y^2)[/tex] ...

alucard_xs

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Re : dérivabilité d'une fonction [Résolu]

merci, j'étais en train d'essayer ce changement de variable-ci.
à présent il faut que je cherche à calculer les limites X.exp(-X²), il doit y avoir un moyen sinon forme indéterminée.

freddy

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Re : dérivabilité d'une fonction [Résolu]

Ah non, normalement c'est connu, cela s'appelle le théorème des croissances comparées ...

donc tu sais que l'exponentielle l'emporte toujours sur x qui domine le log !

D'où l'idée du changement de variable.

alucard_xs

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Re : dérivabilité d'une fonction [Résolu]

ah ok j'ai zappé cette partie, merci ;)