Forum de mathématiques - Bibm@th.net

alucard_xs

Membre

Inscription : 21-12-2010

Messages : 27

Racine n-ième de l'unité [Résolu]

Bonjour à tous,

Désirant voir un peu d'autres horizons, j'ai décidé de passer aux complexes.
Je n'arrive pas à comprendre le changement de variable suivant, pourquoi et comment ?

Enoncé :

Soit n, un entier strictement positif.
L'équation [tex]{z}^{n}[/tex] = 1 admet exactement [tex]n[/tex] solutions qui sont : [tex]{U}_{n}=\left\{{e}^{2ik\pi /n}\left|\,avec\,k\,\in \,\left[0,n-1\right]\right|\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\left\{\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.\right.[/tex]

[petit pétage de plomb désolé ...]
J'arrive bien évidemment à [tex]k\in Z[/tex] mais je ne comprends pas pourquoi il faut se limiter dans l'intervalle ? A Priori il faut faire un changement de variables, mais ce n'est pas automatique pour moi ...

Merci et bonne journée à ceux qui passeront par là :)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Racine n-ième de l'unité [Résolu]

Re,

1. Quel changement de variable ?
    [tex]cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right) = e^{i\frac{2k\pi}{n}}[/tex]
    C'est un simple changement de notation, un passage de la notation trigonométrique à la notation avec l'exponentielle. Si tu le savais déjà, je ne vois pas où est le problème...
2. [tex]1=e^{i2\pi}[/tex]
3. On se limite à l'intervalle parce que sinon, on attaque un 2e tour de piste et qu'on retombe sur les mêmes solutions :
    Soit k = n, alors on a : [tex]e^{i\frac{2k\pi}{n}}=e^{i\frac{2n\pi}{n}}=e^{i2\pi}=e^0[/tex]
    Chaque valeur entière de k correspond à 1/n de tour...
   
  Au fait : ce n'est pas de l'enseignement Supérieur, mais du TS : je déplace...

  @+

alucard_xs

Membre

Inscription : 21-12-2010

Messages : 27

Re : Racine n-ième de l'unité [Résolu]

ok merci ;)