Tangente à une courbe [Résolu]

Zedd · 27-12-2010 20:13:01

Bonsoir,

J'ai un exercice ou je bloque à une question l'énoncé est le suivant :

Après avoir déterminé l'équation de la tangente à la courbe Cf représentative de la fonction f(x)=x^3+2x²-4 au point d'abscisse 2 , donner une valeur approchée de f(2.01) au centième près sans utiliser la calculatrice . Expliquer votre démarche.
Donc pour l'équation je trouve au final y= 20x-228 mais je n'ai aucune idée pour calculer la valeur approchée sans calculatrice.

Merci d'avance pour votre aide

Choukos · 27-12-2010 20:49:24

Bonsoir !
Je pense que dans ton équation de la tangente au point d'abscisse 2 tu as écris un 2 en trop dans ton terme constant :). Pour trouver la valeure approchée, essaye de regarder en direction de la méthode d'Euler.

Bonne soirée,
Choukos

Dernière modification par Choukos (27-12-2010 20:52:07)

yoshi · 27-12-2010 21:12:43

Salut,

Bienvenue sur BibM@th...
Alors c'est -28 et non -228...
J'y réfléchis encore, je te propose pour l'instant trois méthodes :

- une, "terroriste", consiste à se passer de la calculette ce qui est vrai : je n'ai pas besoin de calculette pour faire ça...
Je remplace x par 2.01 et je me farcis le calcul à la main :
2,01 4,0401 x^3 = 8,120601
x 2,01 x 2,01 2x² = 8,0802
----------- ---------- -4 =-4
201 40401 --------------------
402 80802 12,200801 soit 12,20 au centième près
------------ --------------
40401 8120601

- 2e solution qui en est dérivée, on pose x = 2+a
[tex]x^3 = (2+a)^3 = 8 +12a + 6a^2+a^3[/tex]
[tex]2x^2= 2(2+a)^2 = 8 + 8a + 2a^2[/tex]
D'où [tex]x^3+2x^2-4 = 16 + 20a + 8a^2+a^3-4 = 12+20a+8a^2+a^3[/tex]
Et tu remplaces a par 0.01 = [tex]10^{-2}[/tex]

Ces deux méthodes pour le fun : respect strict de la consigne, je n'utilise pas de calculette s'pas :-))
Mais il y a fort à parier que ton prof n'apprécierait pas cette forme "d'humour" : et pourtant... on n'aurait pas utilisé de calculette... ;-)

- 3e solution, plus sérieuse : elle consiste à dire qu'au point d'abscisse 2, on a [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}=20[/tex] avec [tex]\Delta x = 0.01[/tex]...
Comme le [tex]\Delta x[/tex] est petit devant x, ça me paraît jouable (on a le "bon" résultat)...
Mais ainsi que je l'ai dit : je vais patienter jusqu'à ce que je sois visité par une autre idée...
Ne jamais être totalement satisfait est une bonne disposition d'esprit...

@+

[EDIT]
Je viens d'aller voir de plus la "méthode d'Euler" citée par Choukos...
Wikipedia en dit :

la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler, est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles.

Questions :
- Avais-tu connaissance (citée ou vue en classe) de cette méthode ? Moi, pas, mais peu importe, je ne sais pas tout...
- As-tu vu les équations différentielles ?
- Et, en premier, tu es à quel niveau 1ere S (ES) ou TS (TES) ?

Si j'ai bien lu entre les lignes, on n'est pas loin de ce que je propose...

Dernière modification par yoshi (27-12-2010 21:29:44)

Choukos · 27-12-2010 21:50:42

Re bonsoir !
Je crois que ce qui est attendu est la 3ème solution proposé par yoshi.
Pour justifier un peu la démarche, on peut dire que la méthode d'Euler consiste ici à approximer la fonction à l'aide de sa tangente, qui est "localement", une approximation de la courbe (plus on se "rapproche" de 2 et plus dire que la courbe représentative de notre fonction et sa tangente sont confondues prend du sens). Ainsi, sur des "petites" variations de x, on peut raisonnablement dire que les variations de y sont "faibles", d'où l'approximation proposée par yoshi en 3 ! (Et on retombe sur la méthode d'Euler).
"localement","rapproche", "petites" et "faibles" ont été mis entre guillemets car ces termes sont ambiguës et devraient (dans l'idéal) être mieux définis... mais je ne crois pas que c'est demandé ! :)

yoshi · 27-12-2010 22:07:36

Salut Choukos,

Bienvenue sur BibM@th...
Merci de ton approbation. Je suis aussi gêné par l'absence du contexte : il y a juste là une question qui arrive "comme un cheveu sur la soupe" et dont on ne sait rien de ce qui la précède, ni de ce qui la suit.
L'expérience m'a souvent prouvé que c'était pourtant de nature à modifier le choix d'une solution plutôt qu'une autre...
D'où ma relative insatisfaction concernant ma méthode n°3.

Quant aux deux premières, bien malin le prof qui me les reprocherait : j'ai respecté la consigne et pour la 2., je peux même expliquer la démarche... :-)
Faut bien rire un peu de temps en temps, même (surtout ?) avec les Maths : déjà, quand j'étais élève de Terminale, je me faisais un point d'honneur à "passer entre les gouttes" lorsque c'était possible...
Ça avait un avantage : le premier qui se serait avisé de me copier dessus, se serait ipso facto dénoncé !

@+

Et au plaisir, que j'espère non éphémère, de relire tes (futures) contributions...

Zedd · 28-12-2010 11:45:36

Merci à vous deux pour votre aide

A+

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Tangente à une courbe [Résolu]

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