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tsaloum

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Base de numeration [Résolu]

Bonjour chers Amis,
J'ai un petit exercice de maths qui me tient la tête. Pour être honnête, je n'arrive pas du tout à y voir une voie.

Question:
1) Étudiez suivant les valeurs de l'entier naturel n le reste de la division euclidienne de  [tex]{7}^{n}\,par\,10.[/tex]

-------Cette question je l'ai déjà traité et ça me donne : 
Soit k un entier naturel :
pour n=4k le reste fait 1
pour n=4k+1 le reste fait 7
pour n=4k+2 le reste fait 9
pour n=4k+3 le reste 3
-------------------------
2)  Dans le système de numération décimale, déterminez suivant les valeurs de l'entier naturel n , le chiffre des unités de l'entier  [tex]A\left(n\right)=\,1+{7}^{2}+{7}^{3}+.................................................+{7}^{n}[/tex]

Merci d'avance pour votre aide pour le 2)

yoshi

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Re : Base de numeration [Résolu]

Salut tsaloum,

Ça faisait un moment...

Bon, il me semble apercevoir une lueur :
[tex]A(n)=1+7^2(1+7+7^2+...+7^{n-2})[/tex]
Et la parenthèse est la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 7...
Comme dirait la chanson "Y a quelque chose là-dedans, j'y retourne immédiatement !"...

Sauf que non, je n'y retourne pas, sauf si tu ne peux rien en tirer..
Vous qui me lisez chers habitués (et les autres), vous en pensez quoi ? :-)

@+

freddy

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Re : Base de numeration [Résolu]

Salut,

je ne comprends pas : il a trouvé les bonnes congruences, mais il n'arrive pas à s'en servir.

J'ai toutefois un doute : il ne manquerait pas le terme en n = 1 dans la formation de A(n) ?

Je suppose que oui. Alors on a :

A(0) -> 1 ; A(1)  -> 1 + 7 = 8 ; A(2) ->  8 + 9 = 17 -> 7 ; A(3) -> 7 + 3=10 -> 0 ; A(4) -> 0 + 1 = 1 ; A(5) -> 1 + 7 = 8 ; ...

Je te laisse conclure.

Dernière modification par freddy (04-12-2010 23:52:14)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Base de numeration [Résolu]

RE,

Oui, ça m'a traversé un moment l'esprit, cette absence...
Et maintenant en revoyant la première question, je me dis que oui, le [tex]7^1[/tex] doit probablement manquer...

@+

tsaloum

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Re : Base de numeration [Résolu]

Bonjour chers Amis,
Merci à Yoshi et freddy,..
Effectivement Yoshi, tu as raison ça fait vraiment un moment. j'espère que tout le monde va bien.
Merci de ton aide Freddy,
tu as vraiment raison, je n'ai pas eu l'idée de cette petite technique de décomposition qui fera intervenir les résultats de la question précédente. Merci à Vous tous.

Sinon dans l'expression que j'ai il n'y a pas 7 dans l'original de la question.

Merci et bonne journée.

tsaloum

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Re : Base de numeration [Résolu]

Bonjour Freddy,

Salut,

je ne comprends pas : il a trouvé les bonnes congruences, mais il n'arrive pas à s'en servir.

J'ai toutefois un doute : il ne manquerait pas le terme en n = 1 dans la formation de A(n) ?

Je suppose que oui. Alors on a :

A(0) -> 1 ; A(1)  -> 1 + 7 = 8 ; A(2) ->  8 + 9 = 17 -> 7 ; A(3) -> 7 + 3=10 -> 0 ; A(4) -> 0 + 1 = 1 ; A(5) -> 1 + 7 = 8 ; ...

Je te laisse conclure.

Bonjour je comprends mieux ainsi et je peux les généraliser en fonction de n. mais je n'arrive toujours pas à trouver le reste de A(n) car je ne sais pas comment faire cette somme en généralisant.

Un coup de main s'il te plait.

freddy

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Re : Base de numeration [Résolu]

Salut tsaloum,

le chiffre que tu cherches n'est rien d'autre que le reste de la division par 10.  Et tu sais que la congruence modulo n est compatible avec l'addition, modulo n.

Si il n'y a pas le terme 7, déroule un autre calcul à partir de n = 0, puis 1, puis 2 ... et une récurrence simple devrait apparaitre, je pense.

freddy

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Re : Base de numeration [Résolu]

Je reprends ...

Rappelons tout d'abord la base :

[tex]\begin{cases} \forall k \in \mathnn{N} \\  7^{4k+1} \equiv -3 \pmod{10} \\ 7^{4k+2} \equiv -1 \pmod{10} \\ 7^{4k+3} \equiv +3 \pmod{10} \\ 7^{4k} \equiv +1 \pmod{10} \end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}A(1)= 1 \\ A(2) =1+7^2 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{10} \\ A(3) =1+7^2+7^3 \equiv 0+3=3 \pmod{10} \\ A(4) \equiv 3+1=4 \pmod{10} \\ A(5) \equiv 4 -3 =1 \pmod{10}  \\ A(6) \equiv 1-1= 0 \pmod{10} \\ A(7) \equiv 0+3= 3 \pmod{10} \\ A(8) \equiv 3+1= 4 \pmod{10}\end{cases}[/tex]

Voilà la récurrence cherchée, à toi de la reformuler correctement.

Reviens avec, on regardera.

A plus.

Dernière modification par freddy (05-12-2010 17:41:34)