Dérivées de fonctions [Résolu]

laura-karine · 11-10-2010 16:48:22

Bonjour, voilà j'ai un petit soucis avec les dérivées
Soit f la fonction définie sur ]-3;+infini[ par f(x) = (x+1)² / x+3

je dois déterminer la dérivée f' et la factoriser mais je trouve -(x+1)²(-x²+5x+2) / (x+3)² et je ne pense pas que ça soit ça, si quelqu'un veut bien m'aider !!
Merci .

yoshi · 11-10-2010 17:41:27

Salut Laura_karine,

Bienvenue sur BibM@th...
T'as oublié les parenthèses autour de x+3...
Bon, heureusement tu nous donnes ta solution, ce qui permet de le déterminer...
Bon, dérivée du type [tex]\left(\frac{U}{V}\right)'=\frac{U'V-UV'}{V^2}[/tex]
On pose U = (x+1)² U est du type W², sa dérivée est 2W'W, avec W = x+1. Donc U' = 2(x+1)
On pose V = x+3 d'où V' = 1

Alors :
[tex]\left(\frac{(x+1)^2}{x+3}\right)'=\frac{2(x+1)(x+3)-(x+1)^2\times 1}{(x+3)^2}[/tex]

Ça te devrait te suffire pour poursuivre...

@+

laura-karine · 11-10-2010 18:52:43

Merci =)
donc ça me donne 2(x+1)(x+3) - (x+1)²
-------------------------- ?
(x+3)²

mais pour factoriser je ne sais pas du tout comment m'y prendre

laura-karine · 11-10-2010 18:59:40

j'ai réfléchis et je trouve [x(1+3)][2-(x+1)²]
----------------------
(x+3)² ?

yoshi · 11-10-2010 19:12:33

RE,

Nan !
Tss ! tsss !
Pour factoriser, il faut mettre (x+1) en facteur commun :
[tex]f'(x)=\frac{(x+1)[2(x+3)-(x+1)]}{(x+3)^2}=\frac{(x+1)(2x+6-x-1)}{(x+3)^2}[/tex]

En effet, ce type de factorisation est le premier qui soit montré... en Collège, avant les identités remarquables :
2(x+1)(x+3)-(x+1)² = 2(x+1)(x+3)-(x+1)(x+1) =(x+1)[2(x+3)-(x+1)]

@+

laura-karine · 11-10-2010 19:46:44

ah merci beaucoup =) ensuite on me demande de déterminer les équations réduites de Ta et Tb qui sont les tangentes à la courbe C représentative de f aux points A et B d'abscisse respective -2 et 1.

Il me semble que je dois faire y=f'(a)(x-a)+f(a) ?

yoshi · 11-10-2010 19:51:28

Re,

Tout à fait...

@+

laura-karine · 11-10-2010 20:16:55

pour Ta : f(-2) je trouve 9/5 et f'(-2) je trouve -3
ce qui me fait comme équation -3x-4.2 mais je pense que je me suis trompée ...

laura-karine · 11-10-2010 21:05:48

je ne vois vraiment pas d'autres solutions

yoshi · 11-10-2010 21:08:16

Re,

Comment peux-tu trouver 9/5 ???

[tex]f(-2)=\frac{(-2+1)^2}{-2+3}=1[/tex]

[tex]f'(-2)=\frac{(-2+1)(-2+5)}{(-2+3)^2}=-3[/tex]

L'équation réduite de la tangente en -2 est donc y=-3(x+2)x+1=-3x-5

Par acquit de conscience, j'ai tracé le tout : c'est juste...

@+

laura-karine · 11-10-2010 21:17:39

que suis-je bête j'ai oublié le -
pour Tb je trouve 3/4x - 1/4 ?

yoshi · 11-10-2010 21:24:49

Re,

Et là, t'as oublié quoi ?
[tex]y={3 \over 4}x+{1\over 4}[/tex]

[tex]-{3 \over 4}+1=-{3 \over 4}+{4 \over 4}={1\over 4}[/tex]

@+

laura-karine · 11-10-2010 21:36:46

je ne comprend pas pourquoi c'est 3/4x + 1/4 ..

on me demande ensuite de calculer les coordonnées du point d'intersection des deux tangentes Ta et Tb.
Comme ta et tb n'ont pas le meme coefficient directeur, elles possèdent un point d'intersection. Les coordonnées de ce point vérifient simultanément les deux équations d'où le système :
y= -3x-5
y = 3/4x + 1/4
jusque là, c'est juste ?

yoshi · 11-10-2010 21:51:05

Re,

f(1)=1 et f'(1)=3/4.
[tex]y={3\over 4}(x-1)+1 = {3\over 4}x-{3\over 4}+1=\cdots[/tex]

Pour la suite, oui.
Réponse (après simplification) : [tex]x=-{7\over 5}[/tex]

J'ai vérifié, pas d'erreur...

La suite à demain, si suite il y a...

@+

laura-karine · 11-10-2010 22:20:23

merci beaucoup pour l'aide en tout cas, c'est très gentil.

dans un autre exercice, soit g la fonction définie sur R par g(x) = x^3+6x²+19x-26
il fallait déterminer les réels a,b,c tels que g(x)=(x-1)(ax²+bx+c)
j'ai donc trouver a =1 , b=7 , c=26 , ce qui me fait (x-1)(x²+7x+26)
maintenant on me demande d'étudier le signe de g(x) sur R, je dois étudier séparément (x-1) et (x²+7x+26) ?
A demain !

laura-karine · 11-10-2010 22:23:56

je ne sais pas si ça change quelque chose mais ce n'est pas marqué d'étudier le signe de g(x) mais de le déduire

yoshi · 12-10-2010 06:10:06

Re,

Non, ça change rien : c'est de la factorisation que tu vas tirer le signe de g(x) sur R : tableau de signes en principe !
Ceci dit, il te faut aussi factoriser x²+7x+26, ou à tout le moins, essayer....
Or, [tex]\Delta = (-7)^2-4\times 26 = 49 - 104 = -55 <0[/tex]
Donc x²+7x+16
- n'a pas de solution dans R,
- est du signe du coefficient de x² pour tout x de R

Donc le signe de g(x)c'est le signe de x-1...

@+

PS 1 sujet = 1 discussion ! Tu aurais dû ouvrir une autre discussion...

laura-karine · 12-10-2010 09:40:06

désolé je ne savais pas, je continue ici ou j'ouvre une autre discussion ?

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