Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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le caméléon monochrome

Hey,

Quelque part en Bresse, il y a un superbe parc ornithologique.

Il se raconte qu'il y a fort longtemps y avaient été implantés des caméléons de trois belles couleurs (7 Rouges vifs, 10 Bleus perroquet  et 17 Verts lagune) munis d'un métabolisme particulier : si deux caméléons de couleurs distinctes se rencontraient, ils changeaient de couleur en la troisième. Sinon, rien ne se passait.

La superficie du parc et l'associabilité des bestiaux faisaient qu'ils ne pouvaient se rencontrer que par paire, et de manière très fortuite.

Au bout d'un an pourtant, il ne resta plus que 34 caméléons de même couleur.

Pourriez vous dire laquelle (et le prouver, bien sûr ...)

Have fun !

Dernière modification par freddy (27-08-2010 17:04:24)

JFF

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Re : le caméléon monochrome

Hello

Notons RdB le nombre de rouges disparus au profit d'un bleu,
           RdV le nombre de rouges disparus au profit d'un vert,
           BdR le nombre de bleus disparus au profit d'un rouge,
           BdV le nombre de bleus disparus au profit d'un vert,
           VdR le nombre de verts disparus au profit d'un rouge,
           VdB le nombre de verts disparus au profit d'un bleu.

On remarque que
           le nombre de rouges apparus est R = BdR + VdR, et BdR = VdR notés x
           le nombre de bleus apparus est B = RdB + VdB, et RdB = VdB notés y
           le nombre de verts apparus est V = RdV + BdV, et RdV = BdV notés z
Ainsi :
           le nombre de rouges restants à la fin est 7 + R - RdB - RdV = 7 + 2x - y - z,
           le nombre de bleus restants à la fin est 10 + B - BdR - BdV = 10 + 2y - x - z,
           le nombre de verts restants à la fin est 17 + V - VdR - VdB = 17 + 2z - x - y.

Si on fait l'hypothèse qu'à la fin il ne reste que des rouges,
on doit résoudre le système :
          2x - y - z = 27
           -x + 2y - z = -10
           -x - y + 2z = -17

Si on faisait une autre hypothèse, il n'en resterait pas moins
que la matrice du système serait la même :
            2    -1    -1
            -1    2    -1
            -1   -1    2
dont le déterminant est nul...

On est dans un cas particulier, on remarque qu'au terme
de droite près, la troisième ligne est une combinaison
linéaire des deux premières (l'opposé de leur somme),
donc elle est superflue.

On a donc le choix entre les systèmes formés des deux premières :

Il reste 34 rouges :          Il reste 34 bleus :          Il reste 34 verts :
2x - y - z = 27                 2x - y - z = -7               2x - y - z = -7
-x + 2y - z = -10             -x + 2y - z = 24             -x + 2y - z = -10

3x - 3y = 37                    3x - 3y = -31                 3x - 3y = 3
or 37 n'est pas                 or -31 n'est pas              BINGO
multiple de 3                    multiple de 3                  x = y + 1

Dans ce 3ème cas le système devient :          2(y+1) - y - z = -7
                                                                  -y - 1 + 2y - z = -10
et donc deux fois la même équation :
y - z = -9

Récapitulons :
Les seuls caméléons restants sont les verts, ils sont 34.
x = y + 1 et z = y + 9 montrent que ce résultat final
a pu survenir de plusieurs façons différentes.
Par exemple : x = 1, y = 0 et z = 9,
c'est à dire :
Au début, il y a 7 rouges, 10 bleus et 17 verts.
x = 1 : un bleu et un vert se rencontrent
Il reste 9 rouges, 9 bleus et 16 verts.
z = 9 : Puis, 9 fois de suite, un rouge et un bleu se rencontrent ;
les rouges et les bleus disparaissent et 2×9 = 18 verts
supplémentaires apparaissent.

En tant que stéphanois, je ne peux que dire :
ALLEZ LES VERTS !!!!

et merci Freddy pour ce très joli problème ;)

freddy

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Re : le caméléon monochrome

Hello,

pas d'autres démonstrations ?

Nerosson, yoshi, thadrien, tutti belli ... ?

nerosson

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Re : le caméléon monochrome

Salut à tous,

Si j'appelle A (7) ,  B (10) ,  C (17)  tes trois catégories de caméléons, il faudrait prouver :

1° que A peut devenir égal à B,
2° que C ne peut pas devenir égal à A ou à B.

Si j'ai bien compris JFF, c'est ce qu'il a fait, mais certaines parties de sa démonstration me dépassent un peu.

Personnellement, je suis bien arrivé à démontrer le primo, mais je cafouille sur le secundo.

En tous cas, je crois bien que je suis le sur ce site qui prend la parole pour dire qu'il a échoué : on se singularise comme on peut.

freddy

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Re : le caméléon monochrome

Salut,

parfois, ne rien dire équivant à la même chose.

Essaie d'adopter une démarche mécanique. Suppose que nos bestiaux ne peuvent se rencontrer que par couple prioritaire, du genre bleu et vert quand il y en a, ou bien autre combinaison.

Tu verras que, nécessairement, tu finis toujours sur la même couleur unique.

A plus l'ami !

Wal

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Re : le caméléon monochrome

Salut à tous,
peut être faut il essayer de voir au niveau des ensembles...

karlun

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Re : le caméléon monochrome

Bonjour,

une approche mécanique?

Il s'agit de trouver la manière la plus rapide de se faire rencontrer  les caméléons afin de ne plus avoir qu'une couleur.
(Deux caméléons de couleur différente se rencontrent => il y a deux caméléons de la même couleur)  Il faut donc trouver les bonnes rencontres afin d'obtenir un même nombre de caméléon de couleur différente; ceux-ci se croisent et bingo!
Il n'y a qu'une seule façon:

R   B   V           
________   
7  10  17       Données de départ
9    9  16       (B et V) -1 => R+2 => R=B
0    0  34        9R+9B= 18V+16V= 34V

R   B   V           
________   
7  10  17       Données de départ
6  12  16       (R et V) -1 => B+2 => B!=V
5  14  15        idem  B+2 et V-1 ne seront jamais égaux
4  16   14

R   B   V           
________   
7  10  17       Données de départ
6   9   19       (R et B) -1 => V+2 =>ça n'a pas de sens

A+-*/

freddy

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Re : le caméléon monochrome

Salut,

en effet, ils finissent tous vert.

Car le processus fait que : dès qu'il n'y a plus que des caméléons de deux couleurs distinctes et de même nombre, ils se convertissent alors tous dans la troisième couleur ; il y a toujours un moment où on se retrouve avec autant de rouge que de bleu.

Bb

fabricen26

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Re : le caméléon monochrome

Bonjour a toi Freddy je voudrais te demander si tu as une autre démonstration de ton problème  car il faut avouer que j'ai tout essayer mais en vain et je n'ai pas comprise grande chose de la démonstration de JFF.   Merci d'avance

freddy

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Re : le caméléon monochrome

Salut,

j'avoue ne pas avoir suivi la démonstration de JFF. j'ai très vite abandonnée.

Celle de Karlun est parfaite. Je pense que c'est celle là qu'il faut que tu essaies de comprendre.

J'ai proposé une approche mécanique, car derrière le procédé aléatoire se cache une réalité : au bout d'un certain nombre de rapprochement, il y a un attracteur étrange qui fait qu'il n'y a plus q'une seulle couleur qui est celle qui était majoritaire dès le début de l'énoncé.

Je l'ai vérifié sous SAS en générant de manière aléatoire les rapprochements. Tôt ou tard, compte tenu des règles de gestion, il ne reste plus que des caméléons verts.

Je vais essayer de l'expliquer autrement.

A bientôt.