Un problème de probabilité

evaristos · 20-09-2010 07:35:22

Bonjour

Voici un problème

On donne un segment que l'on partage en trois.

Quelle est la probabilité que l'on puisse former un triangle avec ces trois segments?

A+

freddy · 20-09-2010 15:05:19

Salut,

je formule un pronostic : la probabilité recherchée est un nombre pas ordinaire ...

yoshi · 20-09-2010 15:17:31

bonjour,

Je hasarde une bribe de raisonnement...
Qu'on coupe le segment en 3 est un "épiphénomène", une sorte de "bruit de fond".
Eu égard à l'inégalité triangulaire, je ramène ce 3 à 2 : l'un des 2 segments devra avoir une longueur strictement (j'exclus le triangle aplati) inférieure à la moitié de la longueur du segment initial.
Après, peu importe où on coupera le grand morceau, l'inégalité triangulaire sera automatiquement vérifiée...

Donc, je ramènerais ce problème à celui-ci :
On donne un segment que l'on partage en deux.
Quelle est la probabilité que les deux morceaux n'aient pas la même longueur ?

Après, je ne peux pas répondre, sauf pour dire : quelle est la probabilité (très très très faible, en principe) pour que les deux morceaux aient la même longueur ? Si je réponds là, je peux répondre à la question précédente.

@+

nerosson · 20-09-2010 16:09:11

Salut à tous,

Juste un petit mot qui, je le reconnais, ne répond pas à la question :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse faire un triangle avec trois segments est que la somme des longueurs de deux d'entre eux soit toujours supérieure à la longueur du troisième.

Vous allez me dire : "On n'attendait pas après toi pour trouver ça !"

Mais je vais encore réfléchir....

yoshi · 20-09-2010 16:13:59

Ave nerosson,

Il semblerait que tu ne lises pas les posts des autres, le mien ici en particulier.
Inégalité triangulaire, ai-je dit : elle s'énonce comme tu l'as fait !

@+

nerosson · 20-09-2010 16:22:34

Salut, Yoshi,

Je suis content, content : ce que j'ai dit n'était donc pas idiot, ni même inintéressant, puisque tu as dit la même chose.

Mais tu l'as dit, comme toujours, de façon tellement savante que je n'ai pas discerné la similitude entre les deux formulations.

Tu conviendras cependant que ma formulation était accessible même à l'idiot du village. Il ne faut pas dédaigner les idiots de village : nous sommes des citoyens comme les autres....

nerosson · 20-09-2010 16:51:04

Salut à tous,

Comme je ne suis pas très calé sur les "épiphénomènes" et les "bruits de fond", je risque de dire encore quelque chose dont Yoshi revendiquera (sûrement à juste titre) la paternité et il finira par se fâcher.

Soit un segment AC dont le milieu est en B. Ce segment contient dans l'ordre de gauche à droite les segments "d", "e" et "f" destinés à faire un triangle. Les deux conditions nécessaires pour cela sont :

1° que le point séparant "d" de "e" se trouve sur AB,
2° que le point séparant "e" de "f" se trouve sur BC.

L'idiot du village attend avec appréhension les réactions....

yoshi · 20-09-2010 18:04:34

Re,

Tu conviendras cependant que ma formulation était accessible même à l'idiot du village.

Nanti d'un bac Maths, même qui date, tu es loin d'être l'idiot du village que tu complais à prétendre être.

Il me semble (à vérifier) que dans les programmes de Géométrie de 1958 en 6e (ce bon vieux "Lebossé et Hémery" que j'ai retrouvé) figurait déjà cette propriété sous ce nom...
Et dans les programmes actuels de Géométrie de 5e/4e, on retrouve cette dénomination, mais on ne fait pas une fixette dessus....
Ce que j'ai dit en résumé c'est ça : A M A'.
Soit un segment de départ [AA'] de milieu M : |-----------------|-----------------|
Le point A ayant vocation, triangle constitué de coïncider avec A.

Je n'ai besoin que d'une coupe pour avoir la certitude de pouvoir constituer un triangle quelle que soit la 2e coupe : A B M A'.
|-------------|----|-----------------|
B peut aussi se trouver sur [MA'], situation symétrique qui n'apporte rien de plus...
Et maintenant, où que je procède à la 2e coupe sur [BA'], je pourrai construire mon triangle.

Donc, ma 1ere question a été :
Quelle probabilité ai-je en procédant à une première coupe en B, pour que AB mesure moins de la moitié de [AA'] ?
Que j'ai remplacée par :
Quelle probabilité ai-je en procédant à une première coupe en B, pour que B soit pile au milieu de [AA'] ?
Et là, vu qu'il y a une infinité de points entre A et A'...

@+

evaristos · 20-09-2010 20:43:15

Bonsoir

J’ai bien connu le livre de Lebossé et Hémery en 1 958 mais en 1ère quand j’ai passé le 1er bac.
Il y avait peut-être cet exercice sur les proba ? et les 2 suivants.
1) Soit M un point quelconque de la base [BC] d’un triangle isocèle ABC de sommet principal A. On désigne par H1 et H2 les projetés orthogonaux de M respectivement sur les droites (AB) et (AC). Montrer que la somme MH1 + MH2 est constante.
2) Soit M un point quelconque situé dans un triangle équilatéral ABC et H1,H2 et H3 les projetés orthogonaux de M sur les côtés du triangle.
Montrer que MH1+MH2+MH3 est constant.

Toute relation entre le problème de proba et ces deux exercices n’est pas une pure coïncidence.

Bonne …recherche

freddy · 20-09-2010 21:27:15

Salut,

j'espère que tu ne vas pas infirmer une démonstration datée de 2010 au motif que celle que tu as sous la main remonte à 1958 (comme tu me l'as fait dans l'affaire "Luiggi / Rita" ! :-)))).

La première démonstration de la valorisation du prix d'une option remonte à 1972 et passe par la résolution de l'équation de la chaleur.

Aujourd'hui, un petit coup de martingale et hop, on la retrouve !

Tu vois ce que je veux dire, cher ami ?

:-)))

Sinon, la probabilité cherchée [tex]=\ln 2-\frac{1}{2}[/tex] !

D'ac ?

Je te le prouve quand tu le demandes ou bien te laisse faire.

Bis bald

freddy · 21-09-2010 09:58:23

Salut,

et voilà : http://serge.mehl.free.fr/anx/baton.html#rep

Et comme on dit dans mon pays, Doctus cum Libro

Bb

nerosson · 21-09-2010 14:14:09

Salut, Freddy,

Il ne faut pas imputer la formule "doctus cum libro" au seul Evaristos. J'ai rencontré sur ce site des questions que j'avais déjà vues dans des bouquins d' énigmes, mathématiques ou autres.

evaristos · 21-09-2010 16:23:32

Bonjour à tous

Ma proposition ne date pas de 1958 mais de la fin du 19ième siècle puisqu'elle est attribuée à Emile Lemoine(célèbre notamment pour sa conjecture qui ressemble à celle de goldbach) , de même que celle de Freddy (paradoxe de Bertrand) qui date de la même époque.
La solution qu'il indique sur internet est analytique. Celle de Lemoine est géométrique.
Pourrait-on rechercher une solution probabiliste?
Maintenant je connais peu de problèmes totalement originaux et je pense que cela n'a pas d'importance. Seul le plaisir de la recherche compte.
A++

freddy · 21-09-2010 16:28:48

Hi,

tiens : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/ … __13_0.pdf

et http://math.univ-lille1.fr/~suquet/ens/ … s-geom.pdf

Pour l'honneur de l'esprit humain.

A ton service, jeune homme.

evaristos · 21-09-2010 16:51:48

Re
Pour répondre à Yoshi, je crois que d'une part la probabilité est uniforme et que d'autre part, sauf erreur, la probabilité que B tombe au milieu est nulle car sur le segment, la mesure d'un ensemble fini est nulle non?
Par ailleurs, si l'un des points est le milieu, l'inégalité est fausse puisque la longueur de l'un est la somme des deux autres.

A++

freddy · 21-09-2010 18:57:52

nerosson a écrit :

Salut, Freddy,
Il ne faut pas imputer la formule "doctus cum libro" au seul Evaristos. J'ai rencontré sur ce site des questions que j'avais déjà vues dans des bouquins d' énigmes, mathématiques ou autres.

Salut nerosson,

je suis d'accord, il m'arrive aussi de le faire, mais je prends toujours la précaution de le dire d'une manière ou d'une autre, et surtout, surtout, je ne souhaite pas aux lecteurs une "bonne recherche" comme un prof peut le dire à ses élèves en leur donnant un devoir à faire.

Je sais que yoshi en a déjà fait la remarque, je dois être un peu fatigué car j'y reste encore un peu "sensible".

Mais "Avec le temps, passe, tout passe, avec le temps, va, tout s'en va ..."

Dernière modification par freddy (21-09-2010 18:58:10)

tibo · 21-09-2010 20:01:52

Houla, soit j'ai loupé quelque chose, soit j'ai rien compris aux post précédents.

Moi je trouve une probabilité de 1/4.

Je démontre:

Je considère que le segment est de longueur unité.
Je choisis aléatoirement et de manière indépendante deux points de ce segment A et B,
et je les identifie à leur abscice.
Je définie un point comme "bien placé" s'il n'interdit pas la construction d'un triangle.

|-------------|-------|------------|
0 A B 1

D'après l'inégalité triangulaire,
Pour avoir A et B bien placés, il faut et il suffit que chaque segment soit de longueur inférieure ou égal à 1/2 (j'accepte le cas du triangle aplatit)

Choisissons d'abord A
Peu importe sa place, il n'interdira jamais la construction du triangle.
donc P(A bien placé)=1

Maintenant au tour de B

Si A [tex]\le[/tex] 1/2
B soit bien placé
<=> 1/2 [tex]\le[/tex] B [tex]\le[/tex] A+1/2
donc [tex]P_A[/tex](B bien placé)=A
on somme sur tout les A possibles (<1/2):
[tex]P_{A \le 1/2} (B\ bien\ placé)\ =\ \int_0^{1/2}\ A.dA[/tex]=1/8

Par le meme raisonnement on obtient pour A [tex]\ge[/tex] 1/2
[tex]P_{A \ge 1/2}[/tex] = 1/8

Donc P(B bien placé) = 1/4

On obtient finalement
P(A et B bien placé) = 1*1/4 = 1/4

or si ni A ni B n'interdit la construction du triangle,
alors la construction du triangle est possible

Donc la probabilité recherché est 1/4

Voila, me serais-je trompé quelque part? (ce qui est fort possible)

Dernière modification par tibo (21-09-2010 20:03:42)

freddy · 21-09-2010 21:16:44

Salut,

oui, 1/4 est exact à condition de dire : je casse le bâton en une fois, avec mes deux mains, qui se sont posées au hasard sur le bâton.

En fait, tout le problème repose sur le flou de la notion "au hasard". En fait, le hasard, ce n'est pas vraiment n'importe quoi, il faut bien le définir.

Bb

tibo · 21-09-2010 22:36:13

Ahhhh !!!....
....
.............
.....et quelle est l'autre manière de casser un bout de bois en trois?

freddy · 22-09-2010 08:27:28

Re,

sinon, on peut le faire en deux étapes : first, je le casse en deux bouts de longueur a et a', avec [tex]a\leq a'[/tex] ; second, je choisis au hasard un des deux bouts de bois que je casse à nouveau en deux. Si j'ai pris celui de longueur a, c'est mort (prob=0) ... Donc il faut que le hasard me conduise à choisir celui de longueur a'

J'ai donc trois morceaux de longueur a, b et c avec [tex]a+b+c=1[/tex] en normant la longueur initiale du bâton.

Dans ce cas, le problème se modélise différemment puisqu'il faut bien choisir le bout de bois le plus long, et j'ai une chance sur deux de le faire. Il faut donc que [tex]a\leq \frac{1}{2}[/tex]. On est donc sûr que [tex]a\leq b+c[/tex]. Il reste à vérifier deux autres contraintes pour pouvoir former un triangle.

Puisque [tex]c=1-\left(a+b\right)[/tex] par construction, il reste à examiner [tex]b\leq a+c[/tex] qui s'écrit [tex]b\geq \frac{1}{2}-a[/tex].

Pour la suite, branche toi sur le premier lien que j'ai mis, c'est très explicite.

Bb

evaristos · 22-09-2010 11:15:38

Bonjour à tous

Je propose la solution suivante:

Soit le segment [AB ] de longueur 2. A--------E---------I----F---E'---------B
On le partage en 3: [AE], [EF] et [FB].
On démontre facilement que AE,EF et FB < 1 si et seulement si l'on peut construire le triangle.

Soit I le milieu du segment [AB]. AI=IB=1
On va déterminer la probabilité de l'événement T: les segments forment un triangle.
1) On place E sur ]AI[et on appelle E' le point situé à la distance 1 de E sur ]IB[.On place F sur ]IE'[.
la probabilité p(T)=1/2 x 1/2 car (E,F) appartient à ]AI[X]IE'[
2) ou bien on place E en I et p(T) = 0

Donc p(T) = 1/4

Merci pour vos interventions.

freddy · 22-09-2010 21:51:59

Bonsoir,

OK pour ta très intéressante démonstration, mais comment définirais tu la probabilité d'un événement pour qu'un béotien intuite bien qu'il n'a qu'une chance sur 4 de former un triangle avec les trois bris d'un bâton ?

En effet, tu donnes le sentiment dans ton approche de décider de tout. Par voie de conséquence, j'ai l'impression que le hasard a complètement disparu de la problématique.

Merci d'avance de ta contribution.

Freddy

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Un problème de probabilité

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