Forum de mathématiques - Bibm@th.net

franklino

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une pomme rongéé

Bonjour à tous,

“Une pomme parfaitement sphérique, de 3 cm de rayon, a été rongée par un ver, qui y a creusé une galerie de moins de 6 cm de long depuis le point d’entrée E jusqu’au point de sortie S.

Montrer que l’on peut découper un hémisphère de la pomme non visité par l’hôte indésirable.

nerosson

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Re : une pomme rongéé

Salut,
Si j'avais pas peur de me faire cogner dessus par Tibo, je dirais que c'est "évident".

yoshi

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Re : une pomme rongéé

Amis du souére, bonsouére,

Je pense également avoir trouvé immédiatement.
J'ai raisonné en 2D...

@+

freddy

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Re : une pomme rongéé

Salut,

je plussoie et nerosson, et yoshi ...

Qui dit "mieux" ?

Bis bald©

PS : j'attire l'attention de l'ami thadrien sur le fait que l'expression "Bis bald" est une marque personnelle déposée à l'INPI. En conséquence de quoi, il doit me verser 1.000 € chaque fois qu'il en fait usage.

Yoshi est chargé de compter, Fred de séquestrer les fonds qui me seront versés chaque année bissextile, majorés des intérêts légaux + 2,50 %, sur un compte numéroté en Suisse dont seul nerosson aura le numéro.

Bis bald wieder mal !

Dernière modification par freddy (17-05-2010 08:46:55)

nerosson

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Re : une pomme rongéé

Salut,

lequel Nérosson n'aura rien de plus pressé que de pomper  le fric pour son propre compte !

freddy

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Re : une pomme rongéé

Salut !

ça m'étonnerait, tu ne trouveras jamais le code !

thadrien

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Re : une pomme rongéé

Salut,

Je te paierai dans 10 ans, quand j'aurai des sous. D'ici là, vu la dégringolade de l'euro, je te donnerai les 3 pommes qui te reviennent de droit, avec en prime les 3 vers de pommes.

++

karlun

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Re : une pomme rongéé

Salut à tous,

"Montrer que l’on peut découper un hémisphère de la pomme non visité par l’hôte indésirable".

OK !
Mais quel serait l'évolution de la portion (section de la pomme par un plan) en fonction de l'éloignement du ver du centre de cette pomme. Il doit bien y avoir une fonction pour nous montrer cela.

J'sais pas; j'y retourne immédiatement.

empiriquement vôtre.

PS,  c'est juste pour mettre un grain de sel car la pomme... bof!

Dernière modification par karlun (19-05-2010 17:07:44)

thadrien

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Re : une pomme rongéé

Salut,

@yoshi : tu pourras s'il te plait envoyer la solution ? J'ai un peu honte, mais je suis pas très fort en géométrie : j'ai pratiquement fait que de l'analyse et de l'algèbre. Merci !

yoshi

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Re : une pomme rongéé

Re,

C'est fait...
La honte, ça se mange pas en salade, ça se met dans la poche avec un mouchoir par dessus... ;-)

@+

nerosson

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Re : une pomme rongéé

Salut,

Voilà Nérosson qui arrive pour enfoncer quelques portes ouvertes :

a)Il est impossible que le vers soit allé jusqu'au centre, parce que même s'il avait fait un aller et retour en deux lignes droites, ça donnerait un parcours égal au diamètre de la pomme, ce qui est contraire à l'énoncé du problème.

b) Il m'apparait "évident" (pardon, Tibo) que, quel que soit son tracé, le parcours est tout entier contenu dans un hémisphère et donc qu'on a toujours un hémisphère intact, mais je ne sais pas le démontrer.

c) La géométrie peut-elle être d'un grand secours alors que le tracé du parcours du ver est totalement aléatoire ?

yoshi

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Re : une pomme rongéé

Re,

Moi, j'ai raisonné en 2D, sur un disque.
Je prends un point E sur un cercle (centre O)de diamètre 6 cm et un autre point S sur le cercle tel que, quel que soit le trajet  à l'intérieur du disque, la longueur du trajet E->S est inférieure à 6 cm, soit n cette longueur.
Je trace le diamètre [EF] du cercle.

Comme m'a dit Thadrien en privé, le point S de sortie et le point E appartiennent au même demi-cercle...
Mais, quid du trajet E->S, s'il est rectiligne alors traçons la corde [ES], ES = n <6 et ES figure dans un seul et même demi-disque, puisque forcément d'un côté ou de l'autre du diamètre [EF].

Quel serait un trajet non rectiligne passant dans deux-demi-disques avec ES < n ?
traçons le diamètre [ST] perpendiculaire à [EF].
J'ai tracé un cercle, j'ai placé [EF] vertical, E en bas, F en haut, S à gauche, T à droite et S à droite pas très loin de F.
Le trajet en question peut partir de E, rester dans le demi-disque (ESF), traverser [ST] en H, , traverser [OF] en K pour rejoindre S.
Là, je ne peux pas trouver de demi-disque non traversé : je traverse 1 ,2, 3 quarts de disque...
Quid de la longueur E->S ?
Il s'ensuit que, courbe, le trajet E->S a une longueur supérieure à la somme des longueurs des segments [EH], [HK] et [KS].
Or, inégalité triangulaire, EH +HK > EK et KS >KF D'où EH + HK + KS > EF (=EK + KF = 6 cm)

Je pense qu'on doit pouvoir faire plus simple...

@+

franklino

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Re : une pomme rongéé

bonjour
je raisonne comme suit:

Soit E’ le point de la sphère diamétralement opposé à E ie ( EE’ = 6cm) et (P) le plan médiateur de [SE’].
Je voudrais montrer par l’absurde que l’hémisphère délimité par (P)  contenant E’ est notre solution.
                           Pour cela
Supposons que l’hémisphère délimité par (P) contenant E’ n’est pas cette hémisphère là qu’on peut couper et qui est non visitée par le ver.
Etant donné que la galerie a moins de 6cm de long depuis E jusqu’à S, ie (ES < 6) ; alors il est évident que pour tout point M de la galerie : EM + MS < 6 (*)
Si le ver pénètre dans l’hémisphère contenant E’, nécessairement, la galerie et (P) ont un point commun que nous appellerons A.
D’après l’inégalité triangulaire, on a :
EE’ ≤ EA + AE’
     ≤ EA + AS     car  A є (P)
     < 6  d’après (*)
Nous venons de voir que EE’ < 6 ; ce qui est absurde et contradictoire car en fait EE’ = 6
                 Et donc
L’hémisphère délimité par (P) contenant E’ est bien l’hémisphère que l’on peut couper et qui est non visitée par le ver.

SynPoo

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Re : une pomme rongéé

Si j'étais un ver dans une pomme, je resterai dedans, sans en ressortir, je n'irai pas forcément en ligne droite, et j'éviterai même le centre plein de pépin, mais bon.
Imaginons que le ver commence par avancer de 2cm vers le centre, qu'il fasse un petit cercle perpendiculaire à son avancement, qu'il reprenne son axe et avance de 2cm pour dépasser le centre et refasse un petit cercle perpendiculaire à son axe, et qu'il reste là.
Je ne vois plus de demi-pomme qui ne soit pas entamée par le parcours du ver, qui aura fait moins de 6 cm.

freddy

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Re : une pomme rongéé

Salut !

Il est dit que le ver doit entrer ET sortir.

Comment fais tu ?

JeanMars

Invité

Re : une pomme rongéé

Il revient sur ses pas :-)
Blague à part c'est la galerie qui fait moins de 6cm, pas le trajet du ver...
Reste à savoir si un ver peut faire marche arrière :-)

yoshi

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Re : une pomme rongéé

Re,

une galerie de moins de 6 cm de long depuis le point d’entrée E jusqu’au point de sortie S.

Et

Blague à part c'est la galerie qui fait moins de 6cm, pas le trajet du ver...

Si le cer a creusé une galerie entre son point d'entrée E et son point de sortie S, il est clair que son trajet maximal est de 6 cm de long, je t'accorde qu'arrivé en S il peut se replier sur lui même, repartir dans sa galerie et creuser ailleurs, son trajet total sera alors supérieur aux fatidiques 6 cm...

Je ne vois pas le sens de ta réponse (même en commençant par : Blague à part) ???

@+

JeanMars

Invité

Re : une pomme rongéé

Oui désolé j'avais cru voir là une astuce pour jouer sur les hypothèses mais je n'ai pas assez réfléchi...