Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ciceron2

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Picsou et ses économies

Bonjour,

... comme vous le savez peut-être, Picsou adore plonger dans des piscines pleines d'argent.

Dans sa maison, Picsou a une grande pièce carrée de 100 m² avec trois piscines de 1,5 m de hauteur. Au centre de cette pièce, il y a une grande piscine de 4 m de diamètre. Elle n'est pas tout à fait ronde, elle a plutôt la forme d'un polygone de douze côtés. A côté, on trouve deux piscines rondes, plus petites, faisant chacune 2 m de diamètre. Ces trois piscines sont toutes remplies de la même quantité d'argent, à proportion de leur taille, mais Picsou ne veut pas dévoiler la somme exacte de ses économies.

Afin de faire fructifier sa fortune, Picsou a contacté un banquier ; celui-ci lui a proposé un plan pour doubler son capital en vingt ans. Après avoir réfléchi, Picsou a rappelé le banquier en lui demandant que les intérêts sur le capital soient rémunérés aussi. Son banquier lui a proposé un calcul mensuel des intérêts comprenant la rémunération des intérêts précédemment acquis. Picsou a pris contact avec un autre banquier, qui fait une proposition alléchante. Ce dernier avance qu'au moyen de son système informatique, il peut effectuer la même procédure à l'échelle de la seconde. En imaginant la croissance exponentielle de sa fortune, Picsou jubile et n'hésite pas à confier son épargne à ce banquier.

Picsou envisage de stocker l'argent qui sera perçu à la fin de son placement en remplissant des petites piscines rondes comme les deux qu'il a déjà. Picsou se demande combien il lui faudra rajouter de piscines dans sa grande pièce pour arriver à tout stocker. Perdu dans ses calculs, Picsou décide de contacter des internautes férus de mathématiques. Pouvez-vous aider Picsou à résoudre son problème ?

yoshi

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Re : Picsou et ses économies

Allez je te la fait à la freddy :

Salut Cpacarré,

Bpn, bin il semblerait que ce cher Picsou ne soit pas très au fait des mécanismes de la phynance (comme écrivait ça Alfred Jarry) et là il me déçoit grandement...
En effet, lorsqu'on place de l'argent, la moindre des choses, c'est que le système de calcul soit à intérêts composés et non simples : même la Caisse d'Epargne le fait.
Soit un taux annuel t en décimal de 6 %, en décimal 0.06...
Après 20 ans le capital placé
- à intérêts (annuels) composés aura été multiplié par [tex](1+0.06)^{20}\approx 3.207135472212848[/tex]
- à intérêts (mensuels) composés aura été multiplié par [tex](1+0.005)^{240}\approx 3.31020447580744793196270...[/tex]
- à intérêts (à la seconde),  sachant que
    1 jour = 86400 s, 1 an = 365 * 86400 = 31536000 s -- 20 ans = 20*365*86400 = 630720000 s
    t = 0.06/an --> 0.0000000019025875190 /s
    son capital aura été multiplié par [tex](1+0.0000000019025875190)^{630720000}\approx 3.3201169188922753771...[/tex]

Suite demain. Ce soir j'ai pas les yeux en face des trous et BibM@th me fait des misères (erreur de connexion toutes les 10 min...)

@+

Dernière modification par yoshi (09-07-2010 21:59:25)

freddy

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Re : Picsou et ses économies

Salut,

à la fin des fins des fins, on a [tex]\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x[/tex]

yoshi

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Re : Picsou et ses économies

B'soir,

Merci freddy...
Le dodécagone a une aire 12 m², chacun des disques de 2 m de diamètre ont une aire de [tex]pi[/tex],
Soit un total de [tex]12+2\pi[/tex] m².
Dans chacun des 3 cas évoqués, picsou augmente sa fortune de 2,21 fois, 2,31 fois et 2,32 fois, ce qui l'oblige à augmenter le nombre de bassins identiques aux petits bassins circulaires d'un nombre égal respectivement à
[tex]\frac{12+2\pi}{\pi} \times 2,21 \approx 12,8[/tex],   [tex]\frac{12+2\pi}{\pi} \times 2,31 \approx 13,4[/tex], et  [tex]\frac{12+2\pi}{\pi} \times 2,31 \approx 13,5[/tex] petits bassins,
Soit 13, 14 et 14 bassins...

@+

PS
Sur la base non précisée dans ton "énigme maison", d'un taux de 6 %...
Pour tout autre taux que tu préciserais, reprendre le début des calculs...

ciceron2

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Re : Picsou et ses économies

Bonsoir,

Le taux n'est pas précisé de manière chiffrée, mais on peut facilement le déduire, sachant qu'il est indiqué que le plan permet de doubler le capital en vingt ans, sans compter les intérêts composés.

yoshi

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Re : Picsou et ses économies

Bonsoir,

Voilà qui confirme la thèse de l"'énigme" créée de toutes pièces, c'est plus un problème bien linéaire, qu'une "énigme"...
Donc 1+20t=2, soit t=0.05
Intérêts composés annuels        : multiplication par 2.65, d'où augmentation de 1.65
Intérêts composés mensuels      : multiplication par 2.7126402854819887, d'où augmentation de 1.7126402854819887
Intérêts composés à la seconde : multiplication par 2.718281826274212, d'où augmentation de 1.718281826274212
[tex]\frac{12+2\pi}{\pi} \times 1,65 \approx 9,6[/tex]
[tex]\frac{12+2\pi}{\pi} \times 1,.7126402854819887 \approx 9.9670845831105357[/tex]
[tex]\frac{12+2\pi}{\pi} \times 1.718281826274212 \approx 9.99992[/tex]
Pour le dernier calcul j'ai tenu compte du fait que l'année, en matière d'intérêts, compte 360 jours soit 12 mois de 30 jours (et non 365 ou 366)
Ce qui nous fait, dans les 3 cas, 10 bassins ronds de 2 m de diamètre...

@+

ciceron2

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Re : Picsou et ses économies

Bonsoir,

Effectivement, ce problème original a été créé de toutes pièces, Picsou n'existe pas ...

Le but de cette histoire est de donner une représentation schématique de l'exponentielle, en dessinant quelques ronds et un dodécagone.