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freddy

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Exo Arithmétique bac C Aix en Provence 1981 [Résolu]

Dernière ligne droite, encore un petit sujet de révision :

Le but de cet exercice est de démontrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme  [tex]4n-1,\,n\,\in \,\mathbb{N}^{*}[/tex].

1) Soit E l'ensemble des nombres premiers de la forme [tex]4n-1,\,n\,\in \,\mathbb{N}^{*}[/tex].

Montrer que E a au moins deux éléments.

2) On suppose E fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et soit  [tex]X=4P-1[/tex]

   a) Trouver un minorant de X.
 
   b) Montrer que X n'est pas divisible par 2, et en déduire que tout facteur premier de X est soit de la forme  [tex]4n+1[/tex], soit de la forme  [tex]4n-1[/tex] où [tex]n\,\in \,\mathbb{N}^{*}[/tex].

  c) Montrer que X possède au moins un facteur premier de la forme [tex]4n-1,\,n\,\in \,\mathbb{N}^{*}[/tex].

3) En considérant un facteur premier p de X de la forme [tex]4n-1,\,n\,\in \,\mathbb{N}^{*}[/tex], la définition de P et la relation [tex]X=4P-1[/tex], achever la démonstration par l'absurde.

Enjoy

Dernière modification par freddy (16-09-2010 22:57:04)

franklino

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Re : Exo Arithmétique bac C Aix en Provence 1981 [Résolu]

ne voulant pas faire preuve d'activisme, j'attendis que quelqu'un se prononce sur ces exos de Freddy, mais en vain. j'imagine que vous etes sans doute tres occupé etant donné que nous sommes en periode d'examen. sans etre pretentieux, je vais me lancer un peu malgré le fait que je sois tres pris,  car j'adore ce type d'exercice.

freddy

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Re : Exo Arithmétique bac C Aix en Provence 1981 [Résolu]

Hello,

bon, je vais ouvrir le bal car c'est un trop joli sujet.

Tout d'abord, on voit vite les deux éléments 3 et 7 pour n= 1 et 2.

De la même manière, on voit vite que X admet 83 comme minorant. Et puisque 4P est pair, alors X=4P-1 est impair et donc non divisible par 2.

Par ailleurs, on sait que si q est impair, alors q+1 et q-1 sont pairs. Supposons que [tex]\frac{q-1}{2}[/tex] soit impair. On sait alors que [tex]\frac{q-1}{2}+1= \frac{q+1}{2}[/tex] est pair et donc [tex]4\,|\,q+1[/tex]. On en déduit l'écriture de [tex]q=4n-1[/tex].

On montre de la même manière qu'on peut aussi avoir [tex]q=4n+1[/tex].

Par conséquent, X est factorisable par des nombres premiers qui sont soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n-1.

Dernière modification par freddy (27-06-2010 22:44:11)

freddy

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Re : Exo Arithmétique bac C Aix en Provence 1981 [Résolu]

Je continue  ...

Compte tenu de l'expression de X, il est nécessaire qu'il y ait au moins un facteur premier de la forme 4n-1, on peut même affirmer qu'il doit y en avoir un nombre impair.

Supposons a contrario que tel ne soit pas le cas, alors a minima [tex](4n+1)(4p+1) \neq 4q-1[/tex].

Remarquons qu'il est même possible que X soit lui même un nombre premier, comme par exemple [tex]83=4.3.7-1[/tex].

Dernière modification par freddy (27-06-2010 22:51:34)

freddy

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Re : Exo Arithmétique bac C Aix en Provence 1981 [Résolu]

Re,

en fait, un minorant naturel de X est bien entendu le nombre premier maximum de E. Désigons par [tex]p^*=4n^*-1[/tex] ce nombre premier.

Il entre dans la fabrication de X. Puisqu'on sait qu'il existe au moins un facteur premier de X  de la forme [tex]p=4n-1[/tex], il reste à montrer que [tex]p > p^*[/tex].

Si tel n'était pas le cas, alors p aurait été élement de E, et donc constitutif de X.

On aurait donc un nombre premier qui divise [tex]X=4P'p-1[/tex], où P' est le produit des éléments de E sauf p. Donc p = 1, qui n'est pas dans E ! Ce qui contredit l'hypothèse.

Finalement, le nombre d'éléments de E ne peut contenir un nombre fini d'éléments, car on peut toujours fabriquer un terme plus qrand que le maximum de E.

(PS : c'est du même tonneau que la preuve de N infini)

Bb

Dernière modification par freddy (28-06-2010 10:52:34)

Golgup

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Re : Exo Arithmétique bac C Aix en Provence 1981 [Résolu]

Merci