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hadjeres

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nombres premiers [Résolu]

1)montrer que si     a^b=1 alors    (a^n)^(b^n)=1   .
2)montrer que         a*(b^c)=(a*b)^(a*c)  .
3)montree que         a^(b*c)=(a^b)*(a^c)  .
rq:a^b=pgcd(a,b) ;(a^n) sgnifier a à la puissance n .

freddy

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Re : nombres premiers [Résolu]

BONJOUR

1)montrer que [tex]\text{si}\;  a\wedge b=1 \;\text{alors} \; a^n\wedge b^n=1[/tex]   

2)montrer que : [tex] a\times \left(b\wedge c\right)=\left(a\times b\right)\wedge \left(a\times c\right)[/tex] 

3)montrer que : [tex]a\wedge \left(b\times c\right)=\left(a\wedge b)\times \left(a\wedge c\right)[/tex]

remarques : [tex]a\wedge b=pgcd(a,b)[/tex] ; [tex]a^n[/tex] signifie a puissance n.

MERCI

Je n'ai pas bien compris : c'est un pari, une interro écrite, une demande, un souhait, une question, une affirmation ? ...
Enfin : que veux tu savoir, jeune homme ?

Freddy

Dernière modification par freddy (03-06-2010 19:23:35)

freddy

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Re : nombres premiers [Résolu]

"Pour l"honneur ..."

On sait, par le théorème de factorisation, que [tex]a=\prod_{i=1}^{n_a} p_i^{\alpha_i}\;\text{et}\;b=\prod_{i=1}^{n_b} p'_i^{\alpha_i}[/tex] où p et p' désigne des nombres premiers.

Puisque [tex]a\wedge b = 1[/tex], cela signifie qu'aucun des nombres premiers se retrouve dans les deux factorisations.

A la puissance [tex] n > 1,\;a^n=\prod_{i=1}^{n_a} p_i^{n\alpha_i}\;\text{et}\;b=\prod_{i=1}^{n_b} p'_i^{n\alpha_i}[/tex], et on voit qu'il n'y a pas plus de facteurs premiers communs.

Donc [tex]a\wedge b = 1 \Rightarrow a^n\wedge b^n = 1[/tex]

freddy

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Re : nombres premiers [Résolu]

"pour l'honneur ..." (suite)

Par convention, [tex] p\,|\, q [/tex] signifie "p divise q".

On définit [tex]d=a\wedge (b\times c),\;d_1=a\wedge b\;\text{et}\;d_2=a\wedge c[/tex].

Donc on a par définition

[tex]d_1\,|\, a\;\text{et}\;d_2\,|\, a \Rightarrow d_1.d_2\,|\, a [/tex]

[tex]d_1\,|\, b\;\text{et}\;d_2\,|\, c \Rightarrow d_1.d_2 \,|\, b.c [/tex]

Donc à l'évidence, on a [tex]d=d_1.d_2[/tex]

En particulier, si [tex]d_1 = 1[/tex] on retrouve le théorème de Gauss qui énonce :

si [tex] a\,|\, bc\;\text{et}\;a\wedge b = 1 \Rightarrow\;a\,|\,c[/tex]

Dernière modification par freddy (07-06-2010 10:50:49)

freddy

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Re : nombres premiers [Résolu]

"Pour l'honneur ... " (suite et fin)

Soit [tex]d =b\wedge c[/tex]

donc [tex] ad\,|\,ab\;\text{et}\;ad\,|\,ac [/tex] ce qui montre que [tex]a\times (b\wedge c)=(a\times b)\wedge (a\times c)[/tex]

Bb

franklino

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Re : nombres premiers [Résolu]

hummmm