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Blueyes06

Invité

Relation fondamentale des combinaisons [Résolu]

Bonsoir,

J'aurais une question concernant, comme mon titre l'indique, la relation fondamentale des combinaisons. Il faut démontrer de 2 façons différentes (par les ensembles en isolant un élément et par le calcul) que:

[tex]\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\binom{n}{p}[/tex]

J'ai beau regarder sur internet, je ne trouve pas vraiment de solutions...

Merci d'avance et bonne soirée !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Relation fondamentale des combinaisons [Résolu]

Bonsoir,

Ensembles ? Je laisse le soin de répondre à d'autres...
Calcul

[tex]\binom{n-1}{p-1}=\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p+1)!}=\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{(p-1)!}[/tex]

[tex]\binom{n-1}{p}=\frac{(n-1)!}{p!(n-p-1)!}=\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-p)}{p!}[/tex]

D'où

[tex]\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{(p-1)!}+\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-p)}{p!}[/tex]

Réduction au même dénominateur : on multiplie haut et bas la première fraction par p :
[tex]\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\frac{p(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)+(n-1)(n-2)\cdots(n-p)}{p!}[/tex]

Factorisation :
[tex]\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)(p+n-p)}{p!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)(p+n-p)}{p!}=\binom{n}{p}[/tex]

@+

thadrien

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Re : Relation fondamentale des combinaisons [Résolu]

Bonsoir,

Pour la démo par les ensembles :

Soit E un ensemble fini non vide. Soit a un élément de E.

Soit A l'ensemble des p-arrangements de E, B l'ensemble des p-arrangements de E contenant a et C l'ensemble des p-arrangements de E ne contenant pas a.

Par construction, B et C forment une partition de A.

Donc card(A) = card(B) + card(C).

Donc (n,p) = (n-1,p-1) + (n-1,p).

A+

Fred

Administrateur

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Re : Relation fondamentale des combinaisons [Résolu]

Re-

  En reprenant la démonstration de Hadrien, on peut lui donner un sens très concret.
Tu as 23 joueurs pour faire l'équipe de France de foot.
Tu peux faire [tex]\binom{23}{11}[/tex] telles équipes.
Maintenant, tu peux aussi compter cela d'une autre façon :
*ou bien Henry joue, il reste 10 joueurs à choisir parmi 22, soit [tex]\binom{22}{10}[/tex]
*ou bien Henry ne joue pas, il reste 11 joueurs à choisir parmi 22, soit [tex]\binom{22}{11}[/tex]

Bien sûr, en comptant des deux façons différentes, on trouve la même valeur, et donc
[tex]\binom{23}{11}=\binom{22}{10}+\binom{22}{11}[/tex]
C'est ta formule pour n=23 et p=11.

Fred.

Blueyes06

Invité

Re : Relation fondamentale des combinaisons [Résolu]

Yoshi concernant la méthode par le calcul, ton explication était vraiment très claire merci. Mais c'est vrai que seule je n'aurais pas réussi à le résoudre... tout comme la méthode des ensembles :/

Thadrien: Est-ce qu'il est obligatoire de toujours rappeler E, A ... ?

Fred: Avec un cas réel, c'est de suite plus simple à comprendre :) Bon, par contre le foot... toujours un peu réticente mais tu as parlé d'Henry donc ça va :) lol

Vraiment Merci et bonne soirée à vous 3

thadrien

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Re : Relation fondamentale des combinaisons [Résolu]

Salut,

@Blueyes06 : je ne sais pas si on te demande autant de rigueur mathématique à ton niveau. Mais c'est toujours mieux ainsi.