Résoudre inéquation en s'aident de la courbe des inverses [Résolu]

drikce14120 · 05-05-2010 22:03:57

Bonjor,

j'ai un exercice que j'aurais en contrôle et je ne comprend pas comme la prof a trouvé les résultat...
Résoudre chaque inéquation en s'aident de la courbe de la fonction inverse
1/x <-3/4 par exemple

je trouve ]-infini ; 0[ U [4/3 ;+ infini[

Comment trouver ce résulta je ne comprend pas Merci

drikce14120 · 05-05-2010 22:05:55

Et aussi je voulais savoir comment trouver que si x Appartien [0;5] alors 1/x appartien [1/5;+infini[ ?? je sais pas non plus comment trouver sa

yoshi · 06-05-2010 08:59:30

Bonjour,

Tout d'abord, c'est plutôt 1/x < 3/4 que -3/4, non ? Sinon, ça ne colle pas.
Bon alors, la fonction inverse 1/x est définie sur ]-oo ; 0[ U ]0 ; + oo[
Avec le tableau de variation suivant :

.

x    |-oo      0      +oo|

-----|--------||---------|

     |     / 0||+oo\     |

1/x  |    /   ||    \    |

     |   /    ||     \0  |

     |-oo

On constate quoi ?

Que pour [tex]x \in\; ]-\infty\;;\;0[[/tex] alors 1/x < 0 et comme 0 < 3/4 alors 1/x < 3/4

Reste à examiner la deuxième branche.
On constate que sur ]0 ; +oo[ 1/x décroît de +oo à 0 (exclu).
Comme la fonction y est continue, il y a forcément un moment où 1/x = 3/4, c'est pour x = 4/3.
Donc pour x appartenant à ]0 ; 4/3] 1/x décroît de +oo à 3/4, donc reste supérieure à 3/4.
Donc la partie que l'on retient dans cette deuxième branche est ]4/3 ; +oo[ : 4/3 exclu puisque la question porte sur l'inégalité stricte.

Donc solution : [tex]x \in \left]-\infty\;;\;0\right[\;\cup\;\left]{4 \over 3}\;;\;+\infty\right[[/tex]

Deuxième exercice.
Toujours à partir du même tableau de variation, on constate que sur ]0 ; 5] (et non [0 ; 5]), 1/x est décroissante de +oo à 1/5.
Donc [tex]{1 \over x}\;\in\;\left]{1 \over 5}\;;\;+\infty\right][/tex]

Ça te convient ?

@+

thadrien · 06-05-2010 12:02:30

Salut,

@yoshi : ta méthode est tout simplement excellente, mais ce n'est pas tout à fait ce qui est demandé. Ce qui est demandé, c'est d'utiliser la courbe.

Donc, tu traces avec précision la courbe C1 : y = 1/x puis C2 : y = 3/4. Tu détermines LA FORME de l'intervalle sur lequel C1 est en dessous de C2. Tu obtiendras ]-infini;0[ union ]alpha;+infini[ avec alpha l'abscisse du point d'intersection entre les deux courbes.

Ensuite, tu précises la position de ce point en résolvant 1/x = 3/4.

Tout l'art de la méthode consiste, par un raisonnement graphique, à transformer la résolution d'une inéquation en une résolution d'équation, beaucoup plus facile.

P.S : Même chose pour la question 2 : tu détermines la forme de l'intervalle par un raisonnement graphique et tu détermines les positions précises par le calcul.

Dernière modification par thadrien (06-05-2010 12:03:54)

yoshi · 06-05-2010 13:26:40

Salut,

@thadrien : si tu veux. Moi, j'ai interprété la phrase "courbe de la fonction inverse" n'ayant pas vu de demande explicite d'interprétation graphique...
Cela dit, il n'y a qu'à remplacer mon tableau de variation par un graphique comportant les courbes d'équation y = 1/x et y = 3/4.
Ensuite, on reprend mot pour mot les mêmes phrases à ceci près qu'on remplace le début de phrase :

Toujours à partir du même tableau de variation,...

par : Toujours à partir du même graphique,...

D'ailleurs c'est bien comme cela (et à partir du graphique) que mon discours a été conçu, sinon pourquoi aurais-je parlé de "deuxième branche ?"

@+

franklino · 16-05-2010 10:30:58

Bonjour

Je voudrais commencer en disant que le tableau de variation présentée par Yoshi est incorrect, j’espère que cette erreur est dû à sa précipitation.
Je trouve aussi que l’exercice de notre cher Drikce 14120 colle bien et a un sens ; l’énoncé dit : résoudre en s’aidant de la courbe de la fonction inverse l’inéquation : 1/x < -3/4.

Alors, après avoir représenté graphiquement notre courbe de la fonction inverse sur lR privé de 0, et celle de la droite (D) d’équation Y= - ¾, nous pouvons voir que les deux courbes se coupent en un point A d’ordonnés YA= -3/4 bien sûr. Ainsi, nous dirons que la courbe de la fonction inverse est en dessous de la droite (D) dans l’intervalle
] XA ; 0[, d’après notre graphe.
Or sachant que A appartient à la courbe de la fonction inverse, il est clair que l’abscisse XA de A, est l’inverse de son ordonnée YA ; d’où XA= -4/3.

Donc, la solution de l’inéquation 1/x < -3/4 est ]-4/3 ; 0[

En passant, la fonction inverse est strictement décroissante sur chaque branche ( ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ ) de lR privé de 0.

Pour ce qui est de ta deuxième question
comme je l’ai plus haut, la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ et puisque
]0 ; 5] с ]0 ; +∞[, elle est en particulier sur ]0 ; 5].
Ainsi pour x є ]0 ; 5], f(x)=1/x є [f(5) ; lim x [=[1/5 ; +∞[
x—>0+
car f décroissante.

yoshi · 16-05-2010 11:19:19

Re,

@franklino : arrête de sauter sur tout ce qui bouge, c'est de l'activisme, mais ça n'apporte rien : voilà plus de 9 jours, qu'il n'y a pas d'activité sur ce post : il n'y en aura plus.
En conséquence, je vais fermer la discussion ainsi que toutes celles qui ont plus de 8 jours ou dont les auteurs ne se sont pas manifestés après avoir reçu une réponse, c'est de l'ingratitude.
Et probablement à l'avenir, vais-je les inclure sur ma "liste noire" et ne plus leur répondre
Comme disait Michel Eyquem, Seigneur de Montaigne :
<< Au plus haut trône du monde, on n'est jamais assis que sur son cul. >>
Ce dernier mot était à son époque non considéré comme grossier.

Effectivement mon tableau de variation est faux, la seule explication est que bâtir ça comme je l'ai fait est tellement ch... On voit que tu n'as jamais essayé !
Donc voilà le bon tableau, qui vaut mieux qu'un long discours :

x    |-oo      0      +oo|

-----|--------||---------|

     |  0\    ||+oo\     |

1/x  |    \   ||    \    |

     |     \  ||     \0  |

     |    -oo

Et le graphique (dont j'avais signalé à thadrien ue j'avais travaillé avec) avec les courbes d'équations y =1/x, y = 3/4 et y =-3/4

J'avais écrit :

Tout d'abord, c'est plutôt 1/x < 3/4 que -3/4, non ? Sinon, ça ne colle pas.

Ca ne colle pas avec quoi ?
Avec

je trouve ]-infini ; 0[ U [4/3 ;+ infini[
Comment trouver ce résulta je ne comprend pas

Mis à part que la 1ere partie du 1er tableau est fausse (ce qui ne change rien à la réponse).
Moi, j'ai répondu à :
]-infini ; 0[ U [4/3 ;+ infini[
la borne 4/3 ne colle pas avec -3/4 : c'est incohérent...

D'autre part, le

j’espère que cette erreur est dû à sa précipitation.

1. est carrément injurieux car il sous-entend que ce pourrait ne pas être le cas et qu'en conséquence, je pourrais être un incapable,
2. Sous-entend que je me précipite, ce qui n'est pas le cas. Donc, mon ami, faites donc des tableaux entre les balises code et /code et écrivez (presque systématiquement) en LaTeX et on verra si vous, vous êtes infaillible...

@+

franklino · 16-05-2010 13:50:29

Bonjour

Je me dois de m’excuser auprès de toutes ces personnes qui, comme Yoshi pensent que «je saute sur tout ce qui bouge et que cela n’apporte à rien ».

Pour ce qui est de l’exercice, que ce soit ¾ ou -3/4 , l’inéquation colle parfaitement et a bien une solution ; cela se voit sur la courbe que tu as tracé et dont je dis d’ailleurs merci.
Pour ce qui est de mes interventions, vous savez ? je ne dispose pas d’assez de moyens pour être permanent, ce qui fait donc que, lorsque j’ai l’occasion de me montrer utile, et bien je tire effectivement sur tous les exercices, dont je pense pouvoir apporter une grande lumière avant de m’éclipser pour un temps soit peu.

Pour ce qui est des discussions, je m’inscris en contre, si j’ai bien sûr ce droit là, sur la fermeture de certaines de celles-ci sous « prétexte » que les auteurs ont déserté le forum. Ne pouvant connaitre les raisons de cette perte de vue qui peuvent entre autres être la Maladie, la Non-Disponibilité ; je pense qu’en tant qu’une grande famille, nous devons faire preuve de Tolérance et de Patience vis-à-vis des auteurs.

Pardonnez mon long discours, et acceptez-moi tel que je suis dans notre Famille.
Merci pour vos reproches.

yoshi · 16-05-2010 15:12:48

Re,

1.

Pour ce qui est de l’exercice, que ce soit ¾ ou -3/4 , l’inéquation colle parfaitement et a bien une solution ; cela se voit sur la courbe que tu as tracé

Oui...
Et NON, parce que ce n'est pas ce que j'ai dit...
J'ai dit qu'il était incohérent d'associer la résolution de l'inéquation 1/x < -3/4 "en s'aidant de la courbes des inverses" à la solution donnée : ]-infini ; 0[ U [4/3 ;+ infini[ .
Cette solution correspond à l'inéquation 1/x < 3/4 et non à 1/x < -3/4

drikce14120 a écrit :

Comment trouver ce résulta je ne comprend pas

Ce résultat, à savoir : ]-infini ; 0[ U [4/3 ;+ infini[ .
C'est à ce souci que j'ai répondu et pas un autre : je n'ai pas cherché en dehors, je ne vais pas commencer à répondre aux questions qui ne sont pas posées, sauf si elles s'inscrivent dans le cadre strict de l'exercice, vois-tu ?.
La question était :
à partir de 1/x < -3/4 comment arriver à la solution ]-infini ; 0[ U [4/3 ;+ infini[ ?
J'ai signalé que l'énoncé devait être 1/x < 3/4 et non, 1/x < -3/4 et j'ai rédigé une explication sur cette base...
C'est clair, cette fois ?

2. On veut bien t'accepter tel que tu es (dans le respect des règles du forum), mais la réciproque doit être vraie.
Une politique de modération a été définie entre nous (elle ne figure pas dans les Règles, c'est vrai) et que j'ai exposée.
Tu as le droit de penser que ce n'est pas correct pour des tas de raisons...
Cela dit,
si je décide de participer à un concours, je ne vais pas en remettre le déroulement en question,
si je décide d'apprendre à jouer aux Echecs, je ne vais pas en remettre une règle en question,
si je viens sur un forum, je ne vais pas non plus en contester le fonctionnement,
ça me paraîtrait incongru comme procédé...
3.

nous devons faire preuve de Tolérance et de Patience vis-à-vis des auteurs.

Donc, je suis intolérant ? je ne suis pas patient ?
T'es en train de chercher "l'excommunication" ;-) ou quoi ?
Tu manques singulièrement d'expérience et de recul pour dire des choses pareilles...

@+

thadrien · 16-05-2010 17:02:32

Salut,

@yoshi : Franchement, je te trouve super patient. Tu aides les gens et on te répond par des insultes. A ta place, j'aurai déjà usé de l'excommunication et du bûcher !

yoshi · 16-05-2010 18:54:15

Ave,

Merci. T'es sympa !
Tu as noté que j'aurais pu me montrer beaucoup plus "direct" dans mes remarques et que j'ai conservé une retenue et une courtoisie de bon aloi dans mes propos.... hein ? ;-)

@+

franklino · 17-05-2010 10:08:05

@ yoshi, je n'ai jamais dit que tu n'étais pas patient
il est vrai que j'ai besoin d'experience et cela viendra avec le temps, je ne suis qu'un amateur qui debute.
je ne conteste pas le fonctionnement, sans vouloir être pretentieux, je pense qu'oin se comprends tres mal, et je pense qu'il vaut mieux etre direct, car ca aide dans la construction.
faut pas carresser dans le sens du poil

@ thadrien, je ne saurais injurer une personnalité telle que yoshi, je m'excuse si tu en as eu l'impression.
tu es sans ignoré que nous sommes dans un forum d'entraide, et donc c'est pas que yoshi qui aide les gens comme tu dis

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#1 05-05-2010 22:03:57

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