Problème : étude d'une fonction f [Résolu]

Le-new-max · 11-04-2010 10:16:05

Bonjour,

Voici l'énoncé du problème :
Soit f la fonction définie sur [tex]]0 ; + \infty [ \text{ par }f(x) = x²-3,2-8\ln x[/tex]

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en 0. ==> je trouve plus l'infini.
b) On peut écrire f(x) = [tex]x^2 \left(1 - \frac{3,2}{x^2} - \frac{8\ln x}{x^2}\right)[/tex].
Montrer que [tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0[/tex] et en déduire la limite de f en plus l'infini.

Voilà pour le premier point de l'exercice. Est-ce que ma réponse au a) est bonne et pouvez-vous m'indiquer la démarche pour répondre à la question b) ?

Merci d'avance.

freddy · 11-04-2010 10:30:32

Salut,

ok pour la 1-a.

Pour la 1-b), démarre comme suit : on sait que, [tex]\forall x > 1,\;0 < \ln x <x \ssi 0 < \frac{\ln x}{x^2} < \frac1x[/tex]

puis tu conclus quand x tend vers + l'infini !

Enjoy

Dernière modification par freddy (12-04-2010 08:30:36)

Le-new-max · 11-04-2010 10:45:18

Merci de ta réponse, mais je n'ai pas très bien compris comment procéder pour répondre à la question. Ta réponse doit être trop complexe pour moi...

freddy · 11-04-2010 10:51:05

Salut,

alors attends que yoshi passe, il doit savoir comment mieux t'expliquer.

yoshi · 11-04-2010 13:31:29

Bonjour,

Je vais faire autrement.
Il est dit dans le cours de TS (je viens de vérifier) que :
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0[/tex], c'est du cours.
Connais-tu cette propriété ?
Elle est démontrée à partir de : [tex]\forall x >0, \ln x < \sqrt x[/tex]
Cela dit, [tex]\frac{\ln x}{x^2} =\frac{\ln x}{x}\times \frac{1}{x}[/tex]
Donc :
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} \times \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}= 0 \times 0 = 0[/tex] (théorème des limites "composées")

De plus [tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{3,2}{x^2}= \cdots[/tex]
Ta parenthèse tend donc vers .... ?
Et comme [tex]\lim_{x \to +\infty} x^2=+\infty[/tex], [tex]f(x)[/tex] tend donc vers [tex]... \times ...[/tex]

Ca te va mieux ?

@+

Le-new-max · 11-04-2010 13:49:22

Salut,

En effet, je connaissais cette propriété.

Donc [tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{3,2}{x²} = 0[/tex] ?
La parenthèse tend donc vers 0 ?
Et comme la limite de x² en plus l'infini est plus l'infini, f(x) tend vers plus l'infini x 0 ? Soit 0 ?

Merci encore.

yoshi · 11-04-2010 13:53:55

Re,

M'enfin... ?????
La parenthèse tend vers (1 - 0 - 0) soit 1 !
D'autre part, si la parenthèse avait tendu vers 0, f(x) lui aurait tendu vers [tex]+\infty \times 0[/tex], forme indéterminée ! Et on était bien avancé...
Pourquoi en pareil cas ne pas tracer la courbe de f(x) à la calculette ? Tu verrais immédiatement la limite en +oo...

ok ?

@+

Le-new-max · 11-04-2010 14:02:23

En effet, je viens de tracer la courbe et la fonction tend bien vers +oo...
Merci beaucoup.

2. a) Etudier les variations de la fonction f sur ]0 ; +oo[ ==> La fonction est décroissante sur ]0 ; 2] et croissante sur ]2 ; +oo[ ?

yoshi · 11-04-2010 14:12:11

Re,

Oui, d'ailleurs encore une fois ta calculette graphique est là pour te le montrer.

Bon calcul de la dérivée : [tex]f'(x)=\frac{2(x+2)(x-2)}{x}[/tex]
sur ]0 ; +oo[ x est +, x+2 signe +, donc la dérivée est du signe de x-2, soit - entre 0 et 2 et + entre 2 et +oo, avec une tangente horizontale en x = 2.

@+

Le-new-max · 11-04-2010 14:12:39

Il faut surement que je commence par f'(x), pour ensuite étudier les variations de la fonction. F'(x) = 2x - 8/x ?

yoshi · 11-04-2010 14:14:09

Re,

Oui.
Je t'ai répondu entre temps... cf supra.
Pourquoi ]2 ; +oo[ et non [2 ; + oo[ ? La croissance ne commence pas à x = 2 ? Pourquoi l'exclure ?

@+

Dernière modification par yoshi (11-04-2010 14:19:13)

Le-new-max · 11-04-2010 14:23:06

Re,

Une fois que j'ai calculé f'(x) = 2x-8/x, je dois faire son tableau de signe afin de trouver le tableau de variation de ma fonction ?

yoshi · 11-04-2010 14:34:50

Re,

Oui, mais simplifié et entre ]0 ; +oo[...
Une ligne : x 0 2 +oo
Une ligne : f'(x) - 0 +
Une ligne : f(x) flèche bas mini flèche haut
Et tu y ajoutes limites 0 et +oo.
Pour les signes voir mon post #9

@+

Le-new-max · 11-04-2010 15:21:06

Re,

Merci, je pense que j'ai compris pour le moment. Une dernière question : dans mon tableau de signe/variation, est ce que 0 est une valeur interdite ? Dois-je mettre deux barres ? Et le minimum est-il bien égal à environ -4,7 ?

Dernière modification par Le-new-max (11-04-2010 15:23:18)

thadrien · 11-04-2010 16:34:38

Salut,

0 est une valeur interdite, et tu dois donc mettre une double barre.

Ton minimum est OK.

A+

Le-new-max · 11-04-2010 17:14:59

Salut et merci.

b) Montrer que l'équation f(x) = 0 possède une solution unique [tex]\alpha[/tex] dans [3 ; 4], puis déterminer une valeur approchée par excès de [tex]\alpha[/tex] à [tex]10^-1[/tex] près.

==> Sur [3 ; 4], f est continue et strictement croissante.
f(3) = -3 f(4) = 2 (ou 1,7 ?)
Et 0 appartient à [-3 ; 2]. D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution.

Et je trouve 3,6 (ou 3,7) comme valeur pour [tex]\alpha[/tex].

Est-ce que ces résultats sont exacts ?

Dernière modification par Le-new-max (11-04-2010 17:38:19)

yoshi · 11-04-2010 17:32:29

Re,

Oui.
Vérification faite via mon grapheur en zoomant fort, la réponse arrondie à 0,1 près est 3,7.

@+

Le-new-max · 11-04-2010 17:37:42

Re,
Merci pour tes précisions et je vais mettre 1,7 pour f(4).
Si la réponse est exacte, passons au c.

c) En déduire le signe de f(x) sur [1 ; 6].
Comment procéder ?

Merci.

yoshi · 11-04-2010 17:55:01

Re,

Oui, pour f(4) c'est 1,7 à ,1 près...
Alors ta fonction est décroissante et continue sur ]0 ; 2] donc également sur [1 ; 2]
f(2), c'est le minimum...
f(1)=-2,2
Donc signe de f(x) sur [1 ; 2] ?
Sur [ 2 ; +oo[ ta fonction est croissante et continue.
On t'a demandé de calculer [tex]\alpha,\;f(\alpha) = 0[/tex] non ?
Alors sur [tex][2\ ;\; \alpha][/tex], quel est le signe de f(x) ?
f tend vers + oo quand x tend vers +oo, donc le signe de f(x) sur [tex][\alpha\;;\;6][/tex] est le même que sur [tex][\alpha\;;\;+\infty[[/tex] et ce signe est ... ?
As-tu calculé f(6) pour voir ?

@+

Le-new-max · 11-04-2010 18:02:06

Re,

Le signe de f(x) sur [1 ; 2] c'est - ?
Le signe de f(x) sur [2 ; a] c'est - ?
Le signe de f(x) sur [a ; 6] c'est + ?
f(6) = 18.

Donc, et si je comprends bien, f(x) est négatif sur [1 ; a ] et positif sur [a ; 6] ? Je peux répondre ça ?

yoshi · 11-04-2010 18:09:20

Re,

Oui, c'est ça (tu n'as qu'à tracer ta courbe, comme ça tu le vois tout de suite...)
Oui il faut écrire ça en justifiant bien sûr, hein ?

@+

Le-new-max · 11-04-2010 18:29:58

J'ai répondu en justifiant grâce à ton post 19. Merci encore pour ton aide.
Est ce que je dois faire un tableau de signe pour répondre, ou une phrase de conclusion

Dernière modification par Le-new-max (11-04-2010 21:24:20)

yoshi · 11-04-2010 21:05:39

Re,

Bof, une phrase explicative (ou deux) suffit...

@+

Le-new-max · 11-04-2010 21:25:17

Re et merci pour votre aide...

Partie II : Une application économique :

Une entreprise fabrique un solvant pour peinture. x désigne le nombre de [tex]m^3[/tex] de solvant produit chaque jour ; x appartient à [1 ; 6]. Le coût total de production de ces x mètres cubes, en milliers d'euros est :
[tex]Ct (x) = \frac{x^2}{4} + 2,8 + 2lnx.[/tex]

A étude de fonction coût total :

1. Etudier les variations de Ct sur [1 ; 6]==> Je calcule la dérivée : [tex]\frac{\frac{1}{2} (x+2)(x-2)}{x}.[/tex] ?
Et ensuite, ca me donne une fonction décroissante sur [1 ; 2] et crpissante sur [2 ; 6] ?

Merci.

freddy · 11-04-2010 21:53:03

Salut,

Attention, erreur, la dérivée = [tex]\frac{x}{2} + \frac2x = \frac12\times \frac{x^2+4}{x}[/tex] ...

Donc > 0 sur l'intervalle [1, 6] !

Dernière modification par freddy (12-04-2010 08:31:55)

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Problème : étude d'une fonction f [Résolu]

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