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matan

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similitudes, suites et complexes [Résolu]

Bonsoir,

Voici un autre exercice que j'ai du mal à faire et je bloque dès les premières questions. Quelqu'un pourrait-il me donner quelques pistes ??

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
On note [tex]M_0[/tex] et [tex]M_1[/tex] les points d’affixes respectives [tex]z_0=0 \text{ et }z_1=1[/tex]
On fixe un réel r>0 et un nombre différent de [tex] k\pi[/tex] ( k appartient à Z)
M2 est un point du plan tel que

[tex] ||\vec{M_1M_2}||= r [/tex] et  [tex] (\vec{M_0M_1},\vec{M_1M_2}) = \theta   [/tex]

1.Calculez l’affixe [tex] v_0 [/tex] de [tex] \vec{M_0M_1} [/tex] et celle [tex] v_1 [/tex] de [tex]\vec{M_1M_2} [/tex]

Ma réponse: [tex]v_0=1\text{ et } v_1 = re^{i\theta} [/tex]

2.Les points [tex]M_0,M_1,M_2[/tex] étant ainsi définis, pour tout entier naturel n>=1 on définit le point [tex]M_{n+1} [/tex] à partir des points [tex] M_{n-1} et M_n [/tex] par

[tex] ||\vec{M_nM_{n+1}}||= r||\vec{M_{n-1}M_n}|| [/tex] et [tex] (\vec{M_{n-1}M_n},\vec{M_nM_{n+1}})=\theta [/tex]

on obtient ainsi une suite de points [tex]M_n[/tex] et la figure obtenue  en traçant les segments est appelée ‘JOLYGONE’

a)      en prenant r = [tex] \frac {1}{\sqrt{2 }} [/tex] et  [tex] \theta = \frac{\pi}{4} [/tex] placer [tex]M_0, M_1, M_2,M_3,M_4 [/tex]

b)      on note [tex]v_n[/tex] l’affixe du vecteur [tex] \vec{M_nM_{n+1}} [/tex], démontrez que pour tout entier  n>=1 [tex] v_n =re^{i\theta}v_{n-1} [/tex]
c)      déduisez en que [tex] v_n=r^ne^{in\theta} [/tex]

3.On note [tex]z_n[/tex] l’affixe de [tex]M_n[/tex] et dans la suite du problème, on suppose 0<r<1
a)      exprimez [tex]v_n[/tex] en fonction de [tex]z_n \text{ et }z_{n+1} [/tex]
b)      déduisez en que [tex]z_n= v_0+…..+v_{n-1} [/tex] et démontrer par récurrence que [tex] z_n=\frac{1-r^ne^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}[/tex] relation (2)

4.On note s la similitude directe telle que [tex]s(M_0)= M_1 \text{ et }s(M_1) = M_2[/tex]
a)      déterminez l’écriture complexe de s en fonction de r et [tex] \theta [/tex]
b)      en utilisant la relation ( 2) démontrer que pour tout entier n [tex]s(M_n)=M_{n+1}[/tex]
c)      en prenant  [tex] r= \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ et }\theta = \frac{\pi}{4} [/tex] calculer l’affixe [tex] \Omega [/tex] du centre [tex] \Omega [/tex] de s
d)      démontrer que lorsque [tex]  r= \frac{1}{\sqrt{2}} [/tex] alors [tex] \lim\limits_{{n\to +oo}}[M_0M_1+M_1M_2+...+M_{n-1}M_n] = 2+\sqrt{2} [/tex]

Merci de votre aide

Joyeuses pâques  ;)

Fred

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Re : similitudes, suites et complexes [Résolu]

Euh.... très bien Matan, alors qu'as-tu fait? Ou bloques-tu?
Je ne peux pas croire que tu n'as fait que le 1.

Fred.

matan

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Re : similitudes, suites et complexes [Résolu]

J'ai travaillé après avoir posté l'exercice et j'ai un peu avancé.

Pour la 2. b)

[tex] |v_n|=r|v_{n-1}|[/tex] et [tex] arg (\frac{v_n}{v_{n-1}})=\theta [/tex] Est ce que ces relations sont justes? et dans ce cas, [tex] v_n=re^{i\theta}v_{n-1}
[/tex]

2.c)

Je pense qu'il faut utiliser les suites ici, non ?
[tex] v_0=1 [/tex] donc ([tex] v_n [/tex]) est une suite géométrique de premier terme [tex] v_0 [/tex] et de raison [tex] re^{i\theta} [/tex] donc [tex] v_n=r^ne^{in\theta} [/tex]

3.a)

[tex] v_n [/tex] est l'affixe de [tex] \vec{M_nM_{n+1}} [/tex] donc [tex] v_n=z_{n+1}-z_n [/tex]

3.b) Je ne sais pas comment démontrer la première partie de la question

Pour la récurrence, l'initialisation est simple mais je bloque sur l'hérédité

[tex] P_n [/tex] :" [tex] z_n=\frac{1-r^ne^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}[/tex]"

Initialisation: [tex] z_1=1[/tex] et [tex] \frac{1-re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}=1 [/tex] donc [tex] P_1 [/tex] est vraie.

Supposons que [tex]P_n[/tex] est vraie au rang n

[tex] z_{n+1} = ??? [/tex] Je ne sais pas comment commencer.

4. a) Est ce que les calculs suivants sont juste ?

z'=az+b
Or ici b=1 et [tex]a+b=re^{i\theta}[/tex] c'est à dire [tex]a= re^{i\theta} [/tex] donc [tex] z'=re^{i\theta}z+1[/tex]

Et je n'arrive pas à faire la suite.

Merci de votre aide

matan

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Re : similitudes, suites et complexes [Résolu]

Personne pour m'aider ?? :(

Fred

Administrateur

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Re : similitudes, suites et complexes [Résolu]

3.b) Je ne sais pas comment démontrer la première partie de la question

Par récurrence, par exemple.... - ou par télescopage
[tex]v_0=z_1-z_0[/tex]
[tex]v_1=z_2-z_1[/tex]
[tex]v_2=z_3-z_2[/tex]
[tex]....[/tex]
[tex]v_{n-1}=z_n-z_{n-1}[/tex]

Il suffit de faire la somme des ces trucs...

Pour la récurrence, l'initialisation est simple mais je bloque sur l'hérédité

[tex] P_n [/tex] :" [tex] z_n=\frac{1-r^ne^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}[/tex]"

Initialisation: [tex] z_1=1[/tex] et [tex] \frac{1-re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}=1 [/tex] donc [tex] P_1 [/tex] est vraie.

Supposons que [tex]P_n[/tex] est vraie au rang n

[tex] z_{n+1} = ??? [/tex] Je ne sais pas comment commencer.

Tu écris :
[tex]z_{n+1}=z_n+v_n=\frac{1-r^ne^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}+r^ne^{in\theta}[/tex]

Puis tu réduis tout au même dénominateur...

4. a) Est ce que les calculs suivants sont juste ?

z'=az+b
Or ici b=1 et [tex]a+b=re^{i\theta}[/tex] c'est à dire [tex]a= re^{i\theta} [/tex] donc [tex] z'=re^{i\theta}z+1[/tex]

Et je n'arrive pas à faire la suite.

Merci de votre aide

C'est juste.
Pour 4)b), tu écris que l'affixe de [tex]s(M_n)[/tex] est :
[tex]re^{i\theta}z_n+1[/tex], tu remplaces [tex]z_n[/tex] par sa valeur trouvée dans la relation (2),
puis tu essaies de démontrer que c'est égal à [tex]z_{n+1}[/tex] (que tu connais encore par (2)).

Pour 4)c), c'est du cours (tu dois juste trouver le centre d'une similitude connaissant son expression analytique).
Pour 4)d), la longueur [tex]M_{n-1}M_n[/tex], c'est juste le module de [tex]v_n[/tex], donc [tex]r^n[/tex].
Finalement, tu retrouves simplement une somme géométrique.

Fred.