Forum de mathématiques - Bibm@th.net

matan

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suites [Résolu]

bonjour

j'ai un exercice sur les suites , j'ai fait le 1 quelqu'un peut-il m'aider pour la suite ?
On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n par :
u0=3
un+1= (un+vn)/2
et
v0=4
vn+1= (un+1-vn)/2

1.Calculer u1, u2 , v1 et v2

j'ai trouvé
u1=7/2            v1 = 15/4
u2=29/8           v2= 59/16

2. etudiez le sens de variation de ces deux suites
quelqu'un peut il m'aider car j'ai essayé de faire
un+1-un ou un+1/un mais je tourne en rond

3. expirmer vn-un en fonction de n et en deduire la limite de cette difference. Que peut on en déduire de pour la limite de un, celle de un si on suppose que ces deux suites convergent?

4. On considère à présent la suite (tn) définie , pour tout entier naturel n , par t n= (un+2vn)/3

a)Démontrer que la suite (tn) est constante.
b)En déduire la limite des suites (un) et (vn).

Merci de votre aide

matan

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Re : suites [Résolu]

bonjour

Bonjour,

il faut lire pour vn+1

v0=4
vn+1= (un+1 + vn)/2

quelqu'un peut il m'aider pour la question 2 ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : suites [Résolu]

Salut,

C'est malin ! J'ai tous mes calculs à reprendre...
Je commence à chercher, mais ce n'est pas évident ton truc...
Remarque :
[tex]V_{n+1}=\frac{U_{n+1}+V_n}{2}=\frac{\dfrac{U_n+V_n}{2}+V_n}{2}=\frac{U_n+3V_n}{4}[/tex]

En attendant, via Python, voilà les valeurs de U0 à U20  :
3.0
3.5
3.625
3.65625
3.6640625
3.666015625
3.66650390625
3.66662597656
3.66665649414
3.66666412354
3.66666603088
3.66666650772
3.66666662693
3.66666665673
3.66666666418
3.66666666605
3.66666666651
3.66666666663
3.66666666666
3.66666666666
3.66666666667

Et celles de V0 à V20  :
4.0
3.75
3.6875
3.671875
3.66796875
3.6669921875
3.66674804688
3.66668701172
3.66667175293
3.66666793823
3.66666698456
3.66666674614
3.66666668653
3.66666667163
3.66666666791
3.66666666698
3.66666666674
3.66666666669
3.66666666667
3.66666666667
3.66666666667

Apparemment elles sont toutes deux de limite 3+2/3 = 11/3, U_n croissante et V_n décroissante...

@+

[EDIT]
D'abord montrer que Un et Vn sont toutes deux toujours positives
Ensuite, par récurrence, monter que [tex]\forall n \in \mathbb{N}, U_n \leq V_n[/tex]
Enfin, montrer que :
[tex]\forall n \in \mathbb{N}, U_n\leq U_{n+1}[/tex]
[tex]\forall n \in \mathbb{N}, V_n\geq V_{n+1}[/tex]

matan

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Re : suites [Résolu]

bonjour

désolée pour l'erreur je devais être fatiguée hier soir

est ce que je peux faire

Un+1 - Un = (Vn-Un)/2

je calcule Vn+1 -VN
             

Vn+1-Vn = Un/4 + 3/4 Vn - 4/4 Vn = (Un-Vn)/4

les suites U(n) et V(n)sont de croissances opposées si l'une croit l'autre décroit

est ce que c'est suffisant quand on me demande d'étudier leur sens de variation ? Merci pour votre aide

j'ai donc Un+1 -Un = Vn - Un    et Vn+1-Vn = Un - Vn
                               2                               4

merci pour votre aide

matan

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Re : suites [Résolu]

personne pour m'aider ? je ne sais pas démontrer qu'une suite est >0 et je cale aussi sur la suite Un<Vn

yoshi

Modo Ferox

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Re : suites [Résolu]

Re,

U0 et V0 étant positifs, U1 et V1 aussi comme sommes de positifs les suivants aussi..
Sinon on peut le faire par récurrence.
C'est vrai pour n = 0, n = 1 et n = 2
Je suppose que c'est vrai pour n.
Je montre que c'est vrai pour n+1 : somme de positifs.

Ensuite V0 > U0 et V1>U1.
Je suppose que Vn > Un.
A quelle condition a-t-on [tex]V_{n+1} > U_{n+1}[/tex] ?
[tex]V_{n+1}=\frac{U_n+3V_n}{4}[/tex]
[tex]\frac{U_n+3V_n}{4}>U_{n+1}[/tex] ?
Ou encore :
[tex]\frac{U_n+3V_n}{4}>\frac{U_n+V_n}{2}[/tex] ?
Résolvons :
[tex]U_n+3V_n >2U_n+2V_n[/tex]
J'obtiens :
[tex]V_n > U_n[/tex]
Donc, c'est toujours vrai.

J'avais besoin de ça pour la suite...
Donc cherchons si on a effectivement U_{n+1} > U_n quel que soit n.
Partons de [tex]V_n>U_n[/tex] on en déduit que [tex]U_n + V_n > 2U_n[/tex]
(Voilà pourquoi j'avais besoin de termes positifs)
Et enfin [tex]\frac{U_n+V_n}{2}>U_n[/tex]
CQFD
A toi de jouer pour [tex]V_{n+1} < V_{n}[/tex]

Ensuite je constate que :
[tex]n = 0\quad  V_0-U_0 = 1 = \frac{1}{4^0}[/tex]

[tex]n = 1\quad  V_1-U_1 = \frac{15}{4}-\frac{7}{2} = {1 \over 4} = \frac{1}{4^1}[/tex]

[tex]n = 2\quad  V_1-U_1 = \frac{59}{16}-\frac{29}{8} = {1 \over 16} = \frac{1}{4^2}[/tex]

La formule cherchée est donc [tex]V_n-U_n=\frac{1}{4^n}[/tex] ...
Tu dois pouvoir continuer, non ?

@+