limites et convergence de 2 suites adjacentes [Résolu]

matan · 10-03-2010 19:31:42

Bonjour,

J'ai un exercice à faire pour demain, j'ai deja avancé mais je bloque sur la dernière question. Si vous pouviez m'aider

Soient les suites (un) et (vn) définies par
(un) : u0=1 un+1=(un+2vn)/3
(vn) : v0=12 vn+1= (un+3vn)/4

1) Montrer que ces suites sont adjacentes.

2) Calculer leur(s) limite(s) [Il est précisé que je dois m'aider du théorèmesuivant: Si 2 suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite]

1) Je souhaite connaitre le sens de variation de (un) et (vn).
Je calcule donc
un+1-un = 2/3(vn-un)
vn+1-vn = 1/4(un-vn)

Je suis ramenée à étudier le signe de un-vn

Pn:"un-vn<0"
u0-v0=-11<0
Supposons Pn vraie au rang n ie un-vn<0
un+1-vn+1= (un-vn)/12<0

P0 vraie
Pn héréditaire donc un-vn<0

Donc (un) est croissante et (vn) est décroissante.

Je note wn=un-vn d'où wn+1=un+1-vn+1 = (1/12)wn
(wn) est géométrique de raison 1/2 et de premier terme w0=-11

0<1/12<1 donc lim (1/12)^n=0 et on a lim(wn)=lim(un-vn)=0

D'où (un) et (vn) sont adjacentes.

2) Je séche parce que je ne sais pas d'où partir pour calculer ma limite.

Merci de votre aide.

freddy · 10-03-2010 19:39:59

Salut,

commence par calculer les premiers termes de U et V, et tu verras vite ce qui apparaît.

matan · 10-03-2010 19:57:59

En calculant les preimiers termes des deux suites, on sent qu'elles tendent vers 9. Mais c'est intuitif, il ne faudrait pas plutot utiliser un calcul "conventionnel" de limite ?

freddy · 10-03-2010 21:24:55

Oui, pardon tu as raison.

En fait, passe par la suite W=U-V pour remplacer V dans la définition de U, et tu devrais trouver la limite de manière exacte.

matan · 10-03-2010 21:30:17

Je suis désolée mais je ne suis pas sure d'avoir compris ce que je dois calculer.
Je dois utiliser la formule w=u-v et remplacer v par u ??? Si c'est bien cela, je ne vois pas comment faire :S

Fred · 10-03-2010 21:44:15

Salut,

Voici une réponse, mais je ne vois pas comment tu pourrais trouver cela tout seul.

Considère la suite [tex]t_n=3u_n+8v_n[/tex].

Alors, tu sauras prouver que [tex]t_{n+1}=t_n.[/tex]

Ainsi, la suite [tex](t_n)[/tex] est constante, et on a, pour tout entier n,

[tex]3u_n+8v_n=3u_0+8v_0=99[/tex]

Maintenant, par le théorème que tu as rappelé, ces deux suites convergent vers la même limite l.

l vérifie donc :
[tex]3l+8l=99[/tex], soit l=9.

Pourquoi j'ai posé [tex]t_n=3u_n+8v_n[/tex]???? Il y a une théorie mathématique (la diagonalisation des matrices) qu'on apprend dans les deux premières années après le bac qui permet de savoir que c'est cette suite qu'il fallait considérer.

Je suis intéressé par la réponse que ton prof donnera.

A+
Fred.

matan · 10-03-2010 21:48:40

Je pense que je vais me servir de cette méthode.
Merci beaucoup.
Je passerai demain soir mettre la réponse de ma prof en ligne.
Bonne soirée et encore merci !

freddy · 10-03-2010 23:31:32

M'enfin, les enfants, on n'écoute plus tonton Freddy !

Bon, j'explique une fois et ne répèterai pas. Ouvrez bien les yeux.

On a vu plus haut que la suite W = U - V est de la forme :

[tex]w_n=u_n-v_n=-11\times (\frac{1}{12})^n[/tex]

Par conséquent, on déduit :

[tex]u_{n+1}=u_n+\frac{2\times 11}{3}\times (\frac{1}{12})^n[/tex]

[tex]u_{n}=u_{n-1}+\frac{2\times 11}{3}\times (\frac{1}{12})^{n-1}[/tex]

[tex]u_{n-1}=u_{n-2}+\frac{2\times 11}{3}\times (\frac{1}{12})^{n-2}[/tex]

...

[tex]u_{1}=u_{0}+\frac{2\times 11}{3}\times (\frac{1}{12})^{0}[/tex]

En additionnant le tout, les éléments intermédiaires s'éliminent et on obtient :

[tex]u_{n+1}=1+\frac{2\times 11}{3}\times \frac{1-(\frac{1}{12})^{n+1}}{1-(\frac{1}{12})}[/tex]

On en déduit la limite pressentie :

[tex]\lim_{n \to \infty} u_{n}=9[/tex]

Merci qui ? :-)))

Dernière modification par freddy (10-03-2010 23:36:04)

Fred · 11-03-2010 12:52:38

Merci tonton Freddy!

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