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matan

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ppcm et pgcd maths spe [Résolu]

bonjour,

j'ai un exo à faire pour les 2 parties j'ai fait les questions 1 et 2 mais je cale sur la question 3
pouvez vous m'aider
a et b sont des entiers naturels non nuls. Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on note M un point de coordonnées (a ;b) H son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses et K son projeté orthogonal sur l’axe des ordonnées. On appelle « nœud » tout point du plan de coordonnées entières

Partie A :
Dans cette partie, on étudie le cas où a et b sont premiers entre eux.
1.a) démontrer que tous les nœuds N (u ;v) de la droite (OM) sont tels que :
u= ka et v=kb avec k appartenant à z

N est l’ensemble des nœuds de la droite OM
Donc les vecteurs OM et ON sont colinéaires
Donc u=ka et v=kb
Avec k entier car u et v doivent être entiers (nœuds) et a et b sont premiers entre eux

b) combien y a –t-il de nœuds sur le segment [OM] ?

les seuls nœuds sur [OM] sont O et M

2.on considère la suite des multiples de a : a,2a,3a,……(b-1)a et on divise chacun d’eux par b

a)pouvez qu’aucun des restes n’est nul
Raisonnement par l’absurde
on suppose que b divise ka
comme a et b sont premiers, d’après le théorème de Gauss, on a b qui divise k, ce qui est faux puisque k appartient à {1,…..(b-1)}
conclusion : b ne divise pas ka , donc les restes de divisions sont non nuls

b)  prouvez que les (b-1) restes sont tous distincts
Raisonnement par l’absurde
On suppose que na et ka ( avec n différent de k) ont les mêmes restes
ka= bq+r1
na= bq+r2
or k et different de n donc r1 est different de r2

c) prouvez qu’un seul de ces restes est égal à 1
           ka=bq+1
puisque tous les restes sont distincs et compris entre 1 et –(b-1) , il n’y en a qu’un seul qui est égal à 1

d) Déduisez en qu’il existe un seul entier naturel x avec 0<x<b tel que ax-1=by
ax>=l 1 et by >=0 donc y >=0
ax-1<=ab-1>ab donc by<ab d’où y <a

3) a) exploitez les résultats  de la question précédente pour démontrer qu’il n’existe, dans le rectangle OHMK qu’un seul noeud B de coordonnées (alpha beta) tel que
a beta – b alpha=1 et que ce noeud est situé au-dessus de la diagonale [OM]

b)on note B’ ( alpha’; beta’) le point symétrique de B par rapport au milieu du segment [O,M] Calculez abeta’-b apha’

Partie B : Dans cette partie, on étudie le cas où a et b ne sont pas premiers entre eux
On note d=PGCD(a ;b)   a=da’    b=db’
Les points P,E, F, R et S ont respectivement pour coordonnées
P(a’ ; b’)
E(a’, 0)
F(a’ ; b)
R(0 ; b’)
S(a ; b’)

1.démontrez que d est le nombre de noeuds situés sur [OM]
le point p( a’,b’) est un nœud ( et le seul du rectangle OEPR cf partie A)
tous les points de coordonnées( ka’ ; kb’) sont aussi des nœuds avec k entier ( 1<=k<=d)
il n’y en a pas d’autres car sinon ils seraient de la forme ( ta’, tb’) mais t ne serait pas entier

2.démontrez que le PPCM (a ; b ) est égal à l’aire des rectangles OEFK et OHSR
j'ai fait

3.    dans le rectangle OHMK, combien y a-t-il de nœuds N (alpha . beta) tels que a beta-b alpha =d ?

merci de votre aide

Fred

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Re : ppcm et pgcd maths spe [Résolu]

Bonjour matan,

  D'abord, une remarque un peu générale. Avant de poster un nouveau sujet, tu devrais aller faire un tour sur le précédent et confirmer aux personnes qui t'ont aidé que cela a servi.

Bon, je reviens à ton exo (la première chose que je me suis dit en le lisant était : 'tain, ils font des trucs difficiles en spé math en TS).

Voici donc quelques commentaires sur tes réponses :

...
1.a) démontrer que tous les nœuds N (u ;v) de la droite (OM) sont tels que :
u= ka et v=kb avec k appartenant à z

N est l’ensemble des nœuds de la droite OM
Donc les vecteurs OM et ON sont colinéaires
Donc u=ka et v=kb
Avec k entier car u et v doivent être entiers (nœuds) et a et b sont premiers entre eux

La dernière phrase pose problème. Elle est vraie, mais elle mérite des explications détaillées. Je doute que dans ton cours, tu ais un énoncé du type : si a et b sont des entiers premiers entre eux, si u et v sont des entiers et k est un réel avec u=ka et v=kb, alors k est entier.

Il faut donc le prouver!

Voici une méthode. Tu as k=v/b, et donc bu=av. Mais puisque a et b sont premiers entre eux, c'est que b divise v. Donc v=bc avec c entier. Puisque k=v/b, on en déduit k=c et donc k est un entier.

b) combien y a –t-il de nœuds sur le segment [OM] ?

les seuls nœuds sur [OM] sont O et M

2.on considère la suite des multiples de a : a,2a,3a,……(b-1)a et on divise chacun d’eux par b

a)pouvez qu’aucun des restes n’est nul
Raisonnement par l’absurde
on suppose que b divise ka
comme a et b sont premiers, d’après le théorème de Gauss, on a b qui divise k, ce qui est faux puisque k appartient à {1,…..(b-1)}
conclusion : b ne divise pas ka , donc les restes de divisions sont non nuls

Ok.

b)  prouvez que les (b-1) restes sont tous distincts
Raisonnement par l’absurde
On suppose que na et ka ( avec n différent de k) ont les mêmes restes
ka= bq+r1
na= bq+r2
or k et different de n donc r1 est different de r2

La, je ne te suis pas du tout. Quand tu fais la division, tu n'es pas sûr que les quotients sont identiques.
Et je ne vois pas où est-ce que tu fais un raisonnement par l'absurde.

Je reprends. On suppose qu'il existe k>n dans {1,...,(b-1)} avec
ka=bq1+r et na=bq2+r.
Alors on effectue la différence des deux équations et on trouve
(k-n)a=b(q1-q2).

On en déduit b divise (k-n)  -toujours ce fameux théorème de Gauss!- et c'est impossible puisque k-n est dans {1,...,b-1}.

c) prouvez qu’un seul de ces restes est égal à 1
           ka=bq+1
puisque tous les restes sont distincs et compris entre 1 et –(b-1) , il n’y en a qu’un seul qui est égal à 1

OK.

d) Déduisez en qu’il existe un seul entier naturel x avec 0<x<b tel que ax-1=by
ax>=l 1 et by >=0 donc y >=0
ax-1<=ab-1>ab donc by<ab d’où y <a

Je ne comprends pas ce que tu as voulu écrire. Utilise le c)

3) a) exploitez les résultats  de la question précédente pour démontrer qu’il n’existe, dans le rectangle OHMK qu’un seul noeud B de coordonnées (alpha beta) tel que
a beta – b alpha=1 et que ce noeud est situé au-dessus de la diagonale [OM]

Soit (alpha,beta) un tel noeud. Alors on a
a beta-b alpha=1.
De plus, puisque B est dans le rectangle, on doit avoir 0<beta<b et 0<alpha<a.
On conclut que alpha=x et beta=y donnés par la question précédente.

b)on note B’ ( alpha’; beta’) le point symétrique de B par rapport au milieu du segment [O,M] Calculez abeta’-b apha’

Utilise que le milieu de [BB'] a pour coordonnées (a/2,b/2).
Autrement dit, on a (alpha+alpha')/2=a/2.

Je n'ai pas le temps de regarder la suite....

Fred.

matan

Membre

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Re : ppcm et pgcd maths spe [Résolu]

bonjour

merci pour cette aide
c'est vrai que le sujet est long et mes réponses l'allongent encore mais je ne voulais pas me contenter de le poster sans dire ce que j'avais fait

bonne soirée

Fred

Administrateur

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Re : ppcm et pgcd maths spe [Résolu]

Salut,

  Tu as bien fait de poster ce que tu as fait.
C'est ce que tout le monde devrait faire sur ce forum.

A+
Fred.