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matan

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nombres complexes [Résolu]

bonjour,

voila un exo que j'ai du mal à démarrer:

le plan complexe est rapporté au repère othonormal ( o,u,v) determinez les ensembles E, F et G suivants :
- E est l'ensemble des points M du plan, d'affixe z vérifiant : |z-2+i|=|z+1-i|
- F est l'ensemble des points M du plan, d'affixe z vérifiant : |z+2+2i| = 1
- montrer que G l'ensmble des points M du plan, d'affixe z vérifiant : 2z-4 /z+1-i est réel

merci de votre aide

matan

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Re : nombres complexes [Résolu]

est ce que ce que j'ai fait est juste ?
pour la question 2

|Z+2+2i|=1
soit A le point d'affixe 2+2i

|z+2+2i|=1 <=> [zM-ZA|=1

l'ensemble des points M cherché est le cercle de centre A et de rayon 1 ?

freddy

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Re : nombres complexes [Résolu]

Salut,

si tu relies bien les questions, on pose une contrainte qu'il faut bien interpréter.

Pour E et F, il est question de module, tandis que pour G, on souhaite simplement que la partie imaginaire du nombre complexe soit nulle.

Quand tu reformules de cette façon, tu as par exemple pour l'ensemble F :

[tex]{\left(x+2\right)}^{2}+{\left(y+2\right)}^{2}=1[/tex]

avec M d'affixe z=x+iy.

Ta réponse est donc exacte, essaie de faire la suite et reviens nous voir.

Dernière modification par freddy (08-03-2010 12:28:57)

matan

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Re : nombres complexes [Résolu]

bonsoir

voila ce que j'ai fait
question 1
|z-2+i|=|z+1-i|
|x+iy-2+i|=|x+iy+1-i|
(x-2)²+(y+1)²=(x+1)²+(y-1)²
x²-4x+4+y²+2y+1=x²+2x+1+y²-2y+1
-6x+4y+3=0
4y=6x+3
l'ensemble E cherché  est la droite d'équation 4y=6x+3

question 2
|z+2+2i|=1 <=> |x+iy+2+2i|
<=>(x+2)²+(y+2)²

E est le cercle d'équation (x-(-2))²-(y-(-2)² de centre I ( -2;-2) et de rayon r=1

pour la question 3

je pose Z = Z Barre

et là je trouve un truc bizzare avec plus de z mais des i
est ce que ça me permet de conclure que c'est un réel ???

MERCI DE VOTRE AIDE

Fred

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Re : nombres complexes [Résolu]

Bonsoir,

  Pour la question 3, pourquoi ne pas poser comme tu l'as fait auparavant z=x+iy, et
de simplifier l'expression en multipliant le dénominateur par sa quantité conjuguée.
Tu trouveras un nombre complexe de la forme a+ib, et tu écris qu'on a un nombre réel
si et seulement si b est nul.

A+
Fred.

matan

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Re : nombres complexes [Résolu]

donc je fais

2(x+iy)-4 / (x+iy)+1+i

= 2x+2iy-4 /  x+i(y+1)+1

et après je multiplie par quoi ?

freddy

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Re : nombres complexes [Résolu]

Salut,

par la quantité conjuguée ...

Exemple si Z=x+iy, alors son conjugué est égal à x-iy ...

Ici, le conjuguée de [tex]z=x+iy+1-i[/tex] est [tex]\bar z =x-iy+1+i[/tex]

Dernière modification par freddy (08-03-2010 12:31:55)

yoshi

Modo Ferox

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Re : nombres complexes [Résolu]

Bonjour,

1. Moi ça, ça me convient :

|Z+2+2i|=1
soit A le point d'affixe 2+2i

|z+2+2i|=1 <=> |zM-ZA|=1

l'ensemble des points M cherché est le cercle de centre A et de rayon 1 ?

A condition de corriger ainsi :
Soit A le point de coordonnées [tex]A(-2\;;\;-2) \text{ d'affixe }z_A=-2-2i[/tex].
Pas besoin de bazooka pour flinguer un moustique...

2. Pour simplifier les calculs (pas besoin après de développer la partie réelle, juste la partie imaginaire) écrire  les complexes suivants  ainsi :
[tex]2(x+iy)-4 = (2x-4)+2iy[/tex]
[tex]x+i(y+1)+1 = (x+1)+i(y+1)\quad\text{conjugué : } (x+1)-i(y+1)[/tex]

Numérateur de la fraction après multiplication haut et bas par ce conjugué :
[tex][(2x-4)+2iy][(x+1)-i(y+1)][/tex]
Et tu peux te contenter d'effectuer les seuls produits contenant les i, sauf 2iy * (-i(y+1)) qui va être réel.
Après comme on te l'a indiqué, tu écris que la somme de tes deux produits "intéressants" vaut 0...

@+

Valentin

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Re : nombres complexes [Résolu]

donc je fais

2(x+iy)-4 / (x+iy)+1+i

= 2x+2iy-4 /  x+i(y+1)+1

et après je multiplie par quoi ?

Tu multiplies numérateur et dénominateur par quantité conjuguée, de manière à éliminer la partie imaginaire au dénominateur. Ton dénominateur sera ceci: [tex]{\left(x+1\right)}^{2}+{\left(y+1\right)}^{2}[/tex]