Pgcd [Résolu]

matan · 30-01-2010 21:53:37

Bonjour,

pouvez vous m'aider à démarer cet exo, ?

n est entier ,n>1
on pose a= n²+1 / n(n²-1)

1. prouvez que l'ensemble des diviseurs communs du numérateur et du dénominateur de aest l'ensemble des diviseurs communs de n²-1 et 2

2. déduisez en que si n est pair, alors la fraction est irréductible et que si n est impair, alors le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 2

merci de votre aide

yoshi · 30-01-2010 22:48:32

Bonsoir,

Je tente...
n(n²-1) est toujours pair : ça se prouve facilement. Et n(n²-1) peut être tout aussi bien multiple de 4, de 8, etc... pas seulement multiple de 2.

n²+1 pair si n impair, impair sinon...
Examinons n impair > 1 donc il existe k de IN tel n = 2k+1
n²+1 = (2k+1)²+1 = 4k²+4k+2 = 2(2k²+2k+1) = 2 * impair

@+

Thibault · 30-01-2010 22:51:41

Bonjour,

Tu dois déterminer les diviseurs communs de [tex]n^2+1[/tex] et [tex]n(n^2-1)[/tex].

Je me poserai deux questions.

1) Est-ce qu'un diviseur de [tex]n[/tex] peut diviser [tex]n^2+1[/tex]?
2) Sous quelle condition un diviseur de [tex]n^2+1[/tex] peut-il diviser [tex]n^2-1[/tex]? Pour t'aider, une question plus large : quels peuvent être les diviseurs communs de [tex]n+a[/tex] et [tex]n[/tex], [tex]a<n[/tex].

Salutations,

Thibault

matan · 30-01-2010 23:25:30

bonsoir,

1 ) voila la méthode que je propose :
- il faut montrer que tout diviseur du numerateur N et du dénominateur D divise n²-1 et 2 et réciproquement que tout nombre qui divise n²-1 et 2 divise le numérateur N et le dénominateur D

Soit d un diviseur de N et de D
d est nécessairement premier avec n ( en effet si d divise n, il divise n² et il il divise n²+1, il divise n²+1-n² c'est à dire 1)
donc d divise n²-1

d/n²-1

divisant n²+1 et n²-1, d divise 2

d/n²+1 et d/n²-1 donc d/(n²+1)-(n²-1) donc d/2

réciproquement:

soit d un diviseur de 2 et de n²-1 d/2+(n²-1)
alos d divise n²+1 et n(n²-1)

2) si n est pair alors n²-1 est impair

donc 2 et n²-1 n'ont pas de diviseur commun et d'après la question 1, cela revient à dire que D et N n'ont pas de diviseur commun donc que la fraction est irréductible

si n est impair , le PGCD de N et de D est le même que celui de 2 et n²-1
comme n²-1 est divisible par 2, le PGCD est 2

est ce correct ? merci de votre avis
Bonne soirée

matan · 30-01-2010 23:38:08

bonsoir

merci à Thibault et à Yoshi

je me reconnecte demain pour voir vos réponses
bonne nuit

freddy · 31-01-2010 00:35:08

Salut,

je ne sais pourquoi, je trouve la démonstration de yoshi d'une rare efficacité.

Bis bald

yoshi · 31-01-2010 11:04:04

Re,

Merci. Mais j'ai un peu perdu de vue l'énoncé sur l'ensemble diviseurs communs de 2 et n²-1...
De toutes façons, parler de l'ensemble des diviseurs communs de 2 et n²-1 est une formulation alambiquée (et merdique).
Deux nombres se divisent toujours par 1, c'est une tautologie...
Et donc l'ensemble des diviseurs communs de 2 et n²-1 se ramène soit à la paire {1 ; 2} soit au singleton {1}.

Non, j'avais aussi pensé à ça.
* n'n²-1) toujours pair
* n²+1 = 2 +(n² - 1)
le dénominateur n(n²-1) étant toujours pair, pour qu'il y ait un diviseur commun à N et D qui sera 2, il faut et il suffit que n²-1 soit multiple de 2.
En outre, on montre que lorsque n²-1 est pair, alors n²+1 = 2* impair.
Il faudrait montrer que n²+1 et n(n²-1) n'ont pas de diviseur impair commun.

@+

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