Suites [Résolu]

matan · 15-01-2010 22:45:14

Bonsoir

j'ai besoin d'aide pour les questions 2-3 et 4

soit Un la suite définie pour tout entier naturel n>ou egal à 1 par Un = (-n²+2 )/n

1. montrer que la sutite Un est strictement décroissante
donc ça c'est facile

j'ai fait
un+1 - un = (-n²-2n+1)/n - (-n²+2)/n
un+1 - un = - 2 (n+1) / n
or n étant >ou egal à 1
un+1 - un < 0
la suite est décroissante

2. montrer que pour tout entier naturel n>ou egla à 1

u n < A est équivalent à (n+A/2)² - 2 - A²/4 >0
et là je coince

3. supposons par l'absurde que un est minorée par un nombre réel A . Trouver un entier naturl n>ou egalà 1 tel que unA <A

4. en déduire que la suite Un n'est pas minorée et déterminer alors sa limite

quelqu'un peut il m'aider SVP ,

bonne soirée
matan

Fred · 15-01-2010 23:18:01

Bonsoir,

On a
[tex]u_n<A\iff \frac{-n^2+2}n<A\iff -n^2+2<An[/tex]
D'autre part
[tex](n+A/2)^2-2-A^2/4>0 \iff n^2+An+A^2/4-2-A^2>0\iff n^2+2+An>0\iff An>-n^2+2[/tex]
Les deux propriétés sont bien équivalentes (la clé est donc de développer (n+A/2)².

Reviens nous voir si tu veux encore de l'aide pour la suite...

Fred.

freddy · 15-01-2010 23:23:50

Fred a écrit :

Bonsoir,
On a
[tex]u_n<A\iff \frac{-n^2+2}n<A\iff -n^2+2<An[/tex]
D'autre part
[tex](n+A/2)^2-2-A^2/4>0 \iff n^2+An+A^2/4-2-A^2/4>0\iff n^2-2+An>0\iff An>-n^2+2[/tex]
Les deux propriétés sont bien équivalentes (la clé est donc de développer (n+A/2)².
Reviens nous voir si tu veux encore de l'aide pour la suite...
Fred.

Salut,
pffff, il va toujours un peu trop vite, Fred. Bon, j'ai un peu modifié, y'a pas de souci.

matan · 15-01-2010 23:28:00

merci beaucoup

je regarde ça demain et je vous reviens en cas de besoin

merci et bonne soirée
matan

freddy · 15-01-2010 23:34:01

matan a écrit :

Bonsoir
j'ai besoin d'aide pour les questions 2-3 et 4
soit Un la suite définie pour tout entier naturel [tex]n \geq 1[/tex] par [tex]U_n = \frac{-n^2+2}{n}[/tex]
1. montrer que la suite Un est strictement décroissante
donc ça c'est facile . j'ai fait
[tex]u_{n+1} - u_n = \frac{-n^2-2n+1}{n} - \frac{-n^2+2}{n}=-\frac{2n+1}{n}[/tex]
or [tex]n \geq 1[/tex] => [tex]u_{n+1} < u_n[/tex] => la suite est décroissante OK
2. montrer que pour tout entier naturel [tex]n \geq 1[/tex]
[tex]u_n < A[/tex] est équivalent à [tex](n+A/2)^2 - 2 - A^2/4 > 0[/tex] (cf FRED)
3. supposons par l'absurde que un est minorée par un nombre réel A . Trouver un entier naturel [tex]n \geq 1[/tex] tel que [tex]u_nA < A[/tex]
4. en déduire que la suite Un n'est pas minorée et déterminer alors sa limite
matan

Dernière modification par freddy (15-01-2010 23:57:00)

matan · 16-01-2010 14:47:18

Bonjour

1. après reflexion , j'ai vu que j'avais fait une erreur dans 1
un+1-un = -n²-3n-2 / n(n+1) et avec n>1 un+1-un est negatif donc un+1< un donc un décroissante

2. j'ai développé comme indiqué (n +A/2)² J'ai trouvé n²+An-2 >o
ensuite j'ai résolu un<A et j'ai trouvé aussi n²+ An-2 >0 donc il y a bien équivalence

3. je n'aime pas du tout les raisonnements par l'absurde

pouvez m'aider svp?

matan · 16-01-2010 14:51:00

suite
il faut en fait trouver un entier naturel n>1 tel que Un < A

Merci de votre aide

Fred · 16-01-2010 21:30:21

Re-

Imagine que U_n est toujours supérieur ou égal à A. D'après la question précédente, ca veut dire que pour tout entier n, (n+A/2)² - 2 - A²/4 <0 (c'est la question 2, mais en prenant le contraire de chaque côté du signe équivalent).
Lorsque n devient très grand, le membre de gauche tend vers +oo (il prend des valeurs aussi grandes que l'on veut). C'est donc absurde....

Fred.

matan · 16-01-2010 22:08:44

Bonsoir,

donc je peux dire

3. Si la suite était minorée, il existerait A tel que pour tout n on ait un>A . Alors l'expression en question serait toujours négative, ce qui est évidemment faux puisqu'elle tend vers + infini

4) Une suite décroissante non minorée tend vers - infini

est ce que cela suffit ?

Merci de cette aide

Fred · 16-01-2010 22:15:52

Oui, cela suffit....

Fred.

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#1 15-01-2010 22:45:14

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