Forum de mathématiques - Bibm@th.net

matan

Membre

Inscription : 21-11-2009

Messages : 63

réflexions glissées

Bonsoir

je n'arrive pas à utiliser le code Latex ( cf mon post )

j’ai répondu aux 3 premières questions de cet exercice , pouvez vous me dire si c’est correct et m’aider à terminer
merci beaucoup 
soit tu une translation de  vecteur u et SD une réflexion d'axe D
On se propose d'étudier la composée dans toutes les positions relatives de u et D

1. Montrer que la composée tu o SD est un antidéplacement. En déduire que ce n'est ni une translation, ni une rotation
tu o SD est la composée d' un déplacement et d' un antidéplacement: c' est un anti déplacement.
Une rotation ou une translation étant des déplacements,
et la composée étant un anti déplacement, ce ne peut être ni une rotation, ni une translation

2. on suppose que u est un vecteur normal à D . En décomposant tu en un produit de réflexions bien choisies , montrer que tu o SD est une réflexion dont vous déterminerez l'axe
Soit d’ la parallèle à d de sorte que 2HH’=u
(H et H’ sont les points d' intersection d' une perpendiculaire commune aux deux axes et de ces deux axes)
Alors tu = SD’ o SD
et tu o SD’ = SD’ o SD o SD  = SD’
Si bien que la composée est la réflexion d' axe D’

3. on suppose maintenant que u est non nul et que c'est un vecteur de directeur de D. En raisonnant par l'absurde, monter que tu o Sd ne peut pas être une réflexion
Si tu o Sd était une réflexion, cette transformation aurait des points fixes
Or l' image de tout point de M est M’ tel que MM’ = u+v où u est orthogonal à v  et non nul.
Donc MM’ différent de O
tu o Sd n' est donc pas une réflexion

4. on suppose u différent de O et que u n'et ni parallèle, ni orthogonal à la direction de D . En décomposant u en la somme de 2 vecteurs , montrer que tu o Sd est encore une réflexion glissée
donnez la forme réduite de tu o Sd, c'est-à-dire  trouver une droite D’ et un vecteur u parallèle à la direction de D’ tel que  tu o Sd ‘=tu o Sd

5 montrer que le produit d'une rotation par une réflexion est soit une réflexion, soit une réflexion glissée

6. déduire de ce qui précède qu'il n'y a que 4 types d'isométries, les translations, les rotations , les réflexions et les réflexions glissées

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : réflexions glissées

Salut,

Je vais au passage glisser une réflexion : parce que les réflexions peuvent glisser maintenant ? ;-)
J'ignorais...
Bon, sérieusement.
Pour le 1. et 2. Pas de pb ça m'a l'air juste.
Pour le 3. A part la citer, je ne vois pas où dans ce raisonnement, tu utilises la spécificité de la direction du vecteur u : vecteur directeur de (D)...

Or l' image de tout point de M est M’ tel que MM’ = u+v où u est orthogonal à v  et non nul.
Donc MM’ différent de O

Je ne saisis pas. Je ne vois pas le lien de cause à effet entre :
MM’ = u+v où u est orthogonal à v  et non nul  et   Donc MM’ différent de O.
O ? ---> 0 ? vecteur nul ?
Donc MM’ différent de O ---> oui, et alors ?
Dans le 2. aussi je pouvais trouver v pour que [tex]\overrightarrow{MM'}= \overrightarrow u + \overrightarrow v[/tex] ça n'a pas empêché de conclure qu'il y avait une réflexion...
D'autre part, je suis tombé sur cette définition :

Une  réflexion glissée  est, par définition,  le produit  [tex]t_{\vec u}\circ S_{(D)}[/tex]  d'une réflexion et d'une translation, le vecteur de la translation étant non nul et dans la direction de l'axe de la réflexion. Le produit   [tex]t_{\vec u}\circ S_{(D)}[/tex]  s'appelle  forme réduite  de la réflexion glissée.

C'est le cas ici, non ?

4.

(...)montrer que tu o Sd est encore une réflexion glissée.

De ce encore, j'en infère que dans la question précédente, il s'agissait aussi d'une réflexion glissée. Pourquoi n'était-ce pas signalé ?
Bon le vecteur n'étant ni normal ni directeur, il peut donc de décomposer comme étant la somme d'un vecteur normal (vn) et d'un vecteur directeur (vd).
Ce qui revient à composer t_d o t_vn o s_(D) et on a vu dans ta question 3.b) ou 2. de celui-ci de ton exo sur les isométries que t_vn o S_(D) est aussi une réflexion... Puis application de la définition.

5. Soit [tex]R(O,\alpha)[/tex] la rotation, (D l'axe de réflexion et M, M1, M2 tels que
[tex]M  \xrightarrow{S_{(D)}} M_1 \xrightarrow{R(O,\alpha)} M2[/tex]
Soit [tex]\vec u[/tex] un vecteur directeur de (D). J'appelle encore I le projeté orthogonal de O sur (D).
Que O soit sur (D) ou non ne change rien à l'affaire.
La composée est une réflexion si M, M1, M2 alignés c'est à dire si [tex]\alpha =\pm 2|(\overrightarrow{IM},\vec u)|[/tex]
selon que O est du même côté ou pas que M par rapport à (D)...

J'arrête là, je fatigue et je marche sur des oeufs : jamais eu l'occasion de faire ce type d'exercices...
Donc, utilise ton "bon sens", tes connaissances et sois circonspect...

@+

Dernière modification par yoshi (23-11-2009 18:38:09)