Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Le-new-max

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Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Bonsoir,

Le bénéfice, en euros, réalisé par cette entreprise est égal à f(x), où x est le nombre d'objets vendus (avec x [tex]\in[/tex] [0 ; +oo[) et où f est la fonction [tex]\frac{10x²}{x+2}[/tex].

1- Justifiez que ce bénéfice est positif ?
==> suffit-il de dire que comme x est positif, f(x) sera positif, donc le bénéfice également ?

2- L'entrprise décide de placer à intérêts composés au taux de 6% l'an, le bénéfice correspondant à la vente de 100 objets. On désigne par C0 ce bénéfice exprimé en euros, arrondi à l'unité et par Cn la valeur acquise au bout de n années.

a) Vérifier que C0 = 980 puis calculer C1 et C2 :

C0 = f(100) = [tex]\frac{10\times 100²}{100+2} = \frac{100000}{102} = \frac{50 000}{51} = 980[/tex].
C1 = [tex]980 \times\frac{6}{100} = 58,8[/tex].
C2 = [tex](980 + 58,8) \times\frac {6}{100} = 62,328[/tex].

Est-ce exact ? Merci.

yoshi

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Bonsoir,

Oui, puisque x >0 alors X= 2 > 0 et 10x² >0 quel que soit x. +/+=+, donc le bénef est >0
Oui, si le taux d'intérêt est t avec 0<t<1

A la fin de la 1ere année, on a C1 =C0(1+t)
A la fin de la 2e année,    on a C2 =C1(1+t) =C0(1+t)²
.................
A la fin de la ne année,    on a  [tex]C_n =C_0(1+t)^n[/tex]

Un détail, si tu écris en Latex sans passer par l'Editeur d'équations de Fred, notre admin, je te signale que le signe x s'obtient avec \times...

@+

Le-new-max

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Merci,

b) Exprimer [tex]C_{n+1}[/tex] en fonction de Cn. Préciser la nature de la suite (Cn).

c) Déterminer, en arrondissant à l'unité, la valeur acquise obtenue au bout de 10 ans.

Voilà, je bloque sur ces deux points, merci de bien vouloir m'orienter.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Bonsoir,

Rectifications.
Tu fais erreur. Le principe des intérêts composés est de toucher des intérêts sur les intérêts...

Si tu places C0 =980 à 6% tu obtiens :
C1 = 980 x 1,06 = 1038,8
C2= 1038,8 x 1,06  = 1101,128

Encore une fois je vais trop vite...
Tu as donc évidemment :
[tex]C_{n+1}=1,06C_n[/tex]
parce qu'il s'agit bien de [tex]C_{n+1}[/tex] et non de [tex]C_n+1[/tex] ?
Si oui, tu dois écrire en Latex C_{n+1} et non C_n+1...
Tu vois bien que Cn est une suite géométrique de premier terme C0 et de raison 1,06...

ET tu obtiens alors
[tex]C_n=1,06^nC_0[/tex]
Je te laisse faire le calcul...

@+

[EDIT]
Après avoir examiné tes calculs, je reviens dessus
[tex]50000\div 51 \approx 980,39[/tex]. Pourquoi as-tu arrondi à 980 ?
Et [tex]C2\approx 1101,57[/tex]

avec C0 = 980,  C10 = 1755,03 soit avec l'arrondi 1755
avec C0 = 980,39, C10 = 1755,73 soit avec l'arrondi 1756...
Et qui se retrouve avec 1 € d'écart que le prof ne loupera pas ?

Le-new-max

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Bonsoir,

J'ai arrondi à 980 car on me demandé de vérifier que C0 = 980.
Pourquoi C1 = 1038,8 ? On me dit que Cn est la valeur acquise au bout de n années...

Merci.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Re,

ok pour 980, ça m'avait échappé...
Je reprends ton énoncé :

L'entreprise décide de placer à intérêts composés au taux de 6% l'an, le bénéfice correspondant à la vente de 100 objets.

L'entreprise place donc la somme C0 à 6% l'an et ne va pas y toucher.
Donc puisque C0 = 980 on aura C1 = 980 + 980*6/100
Nouveau capital = ancien capital + intérêt
ET C1 = 980+980 * 0,06 = 980* (1+0,06) = 980 * 1,06 = 1038,8
Cette somme C1 de 1038,8 va engendrer des intérêts à son tour la 2e année.
C2 =1038,8 * 1,06 = 1101,128 = 980 * 1,06²

Comprends-tu ? Relis mon message précédent que j'étais en train de modifier/compléter pendant ta réponse...

+

Le-new-max

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Je comprends, seulement je pensais que l'énoncé parlant de "valeur acquise", il ne fallait parler que des intérets...et non pas du nouveau capital. Mais dans ce cas, alors d'accord.

Le-new-max

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Bonjour,

b) Exprimer  en fonction de Cn. Préciser la nature de la suite (Cn).

c) Déterminer, en arrondissant à l'unité, la valeur acquise obtenue au bout de 10 ans.

Voilà, je bloque sur ces deux points, merci de bien vouloir m'orienter.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Une entreprise fabrique et vend des objets [Résolu]

Salut,

Ton post est passé à travers...
Cela dit, puis-je te conseiller de relire l'ensemble de la discussion avant de poser des questionq auquelles j'ai déjà répondu : messages #2 et #4.

Mais je recommence :
Après la 1ere année, tu as  :
[tex]C_1 = C_0 + C_0\times 00,6=1,06C_0[/tex]
Après la 2e année tu as :
[tex]C_2 = C_1 + C_1\times 00,6=1,06C_1=1,06\times 1,06C1=1,06^2C_0[/tex]
Donc [tex]C_{n+1}=C_n + C_n \times 0,06 = 1,06C_n[/tex]

Supposons que l'expression de C_n en fonction de n soit : [tex]C_n=1,06^nC_0[/tex]
Montrons l'héritage :
[tex]C_{n+1}=1,06C_n=1,06\times 1,06^nC_0=1,06^{n+1}C_0[/tex]
Ceci est une démonstration par récurrence, dont je ne suis pas trop sûr qu'elle soit nécessaire.
Cn est une suite géométrique de premier terme C_0 = 980 et de raison 1,06

La valeur acquise au bout de 10 ans est donc [tex]C_10=980\times1,06^{10}[/tex]

@+