Fonction et asymptotes [Résolu]

Le-new-max · 28-10-2009 22:30:13

Bonsoir,

La fonction f est définie sur ]-2 ; +oo[ par : [tex]\frac{10x²}{x+2}[/tex].
1- Etudier la limite de f en -2. En déduire une asymtote à C :
[tex]\lim_{x \to -2} \frac{10x²}{x+2} = ?[/tex]

Pourriez-vous m'éclairer un peu sur la démarche à suivre, merci.

Johan · 28-10-2009 23:32:17

Bonsoir Max.

Déja, si tu as une calculatrice permettant de tracer des graphiques, je te conseille de l'utiliser, cela s'avère souvent utile pour se faire un bonne idée de la situation.

Tu es face à une limte de quotients. Il faut donc raisonner de la sorte :

1° Quelle est la limite du numérateur lorsque x tend vers -2 ?

2° Quelle est la limite du dénominateur quand x tend vers -2 ?

3° J'en déduis alors par composée la limite du quotient.

Conseils : regarde l'intervalle sur lequel est définie ta fonction. Tu peux t'apercevoir que -2 est exclus de ce dernier, et que x ne prendra donc jamais cette valeur, mais une valeur tres proche et légerement supérieur
( -1.9999999999999999...). Cela devrait t'aider à trouver ta limite.

Pour ce qui est de l'asymptote, il en existe 3 sortes que tu as du voir, et elles découlent du théorème sur les limites.

- Les asymptotes horizontales
- Les asymptotes verticales
- Les asymptotes obliques.

Une fois de plus, ta machine te permet de voir laquelle de ces trois tu doit considérer dans ce cas.

En espérant t'avoir éclairer, je te souhaite bon courage et bonne soirée.

Johan

Le-new-max · 29-10-2009 10:43:42

Bonjour Johan.

1° : la limite du numérateur lorsque x tend vers -2 = 40 ?
2° : la limite du dénominateur quand x tend vers -2 = 0 ?

Donc tableau de signes :
x+2 > 0
x > -2

Donc x+2 est négatif sur ]-oo ; -2[ et positif sur ]-2 ; +oo[ ?

[tex]\lim_{x \to -2 <} \frac{10x²}{x+2} = -oo \lim_{x \to -2 >} \frac{10x²}{x+2} = +oo[/tex]

f(x) est asymptote verticale à C.

Est ce que les résultats sont bons et est ce que cela mérite plus d'explications (pour démontrer l'asymptote par exemple). Merci.

freddy · 29-10-2009 10:49:05

Salut,

non, c'est la droite d'équation x=-2 qui est asymptote verticale à la courbe C représentative de f dans le plan muni d'une base orthogonale.

Mais attention au domaine d'étude : la limite à gauche de -2 n'a pas à être évoquée, seule celle à droite de -2 est demandée.

Bb

Le-new-max · 29-10-2009 10:56:29

Salut,

Dans mon tableau de signes pour x+2 il faut donc que je le fasse entre -2 et +oo ?
Et donc je ne mentionne pas la limite à gauche de -2 ? La limite à droite seule, me permet de démontrer l'asymptote verticale ?

Merci.

freddy · 29-10-2009 11:17:02

Re,

oui, tout à fait.

...

yoshi · 29-10-2009 11:20:29

Bonjour Le-new-max

Tu en as trop fait...
Ta fonction est définie sur ]-2 ; +oo[ : voir ton 1er post.
La limite de f(x) n'est donc à étudier que pour x tendant vers -2 par valeurs supérieures à -2.
Il y a une asymptote verticale (d'équation x = ...) à chaque valeur "interdite" du dénominateur, c'est bon à savoir non ?...

Tableau de signes ? Pas besoin
Lorsque x --> -2 par valeurs supérieures à -2, le numérateur tend vers 40 et le dénominateur tend vers 0 par valeurs positives : +/+ --> +
Donc f(x) tend vers +oo.... C'est tout.

Ensuite, t'a-t-on demandé une asymptote quand x --> +oo ?
Si non, tu te contentes de ta limite +oo c'est suffisant.
Mais il y a une "indétermination" à lever : en effet oo/oo est une forme indéterminée.
Pour cela on met x en facteur et on simplifie :
[tex]\dfrac{10x^2}{x+2}=\dfrac{10x}{1+\frac{2}{x}}[/tex]
Ainsi quand x tend vers +oo, le numérateur tend vers +oo et le dénominateur vers 1... D'où la conclusion.
----------------------------------------------------------------------------------
Il ne semble pas qu'on te le demande ce qui suit et/ou que tu l'aies vu en cours.
Je le mets quand même pour le "plaisir"...

Arès cela, on se demande : y a-t-il une asymptote oblique ?
Supposons qu'elle existe, son équation est de la forme y = ax+b et f(x) peut alors s'écrire :
[tex]\frac{10x^2}{x+2}=ax+b+\frac{c}{x+2}[/tex]

Reste alors à trouver a, b, c...
On rassemble le tout sur un seul dénominateur, et on réduit/factorise :
[tex]f(x)=\dfrac{10x^2}{x+2}=ax+b+\frac{c}{x+2}=\frac{(ax+b)(x+2)+c}{x+2}=\frac{ax^2+(2a+b)x+2b+c}{x+2}[/tex]

Alors on peut donc écrire que :
[tex]10x^2+0x+0=ax^2+(2a+b)x+2b+c[/tex]

Ce qui n'est vrai que si :
[tex]\begin{cases}10 &= a \\ 0 &= 2a+b\\0 &=2b+c\end{cases}[/tex]

C'est ce qu'on nomme Identifier...
Solution (a,b,c)=(10,-20,40)
D'où :
[tex]f(x)=\dfrac{10x^2}{x+2}=10x-20+\frac{40}{x+2}[/tex]

On peut même savoir (par le calcul) si la courbe est au dessus ou au dessous de l'asymptote oblique...

Mais je m'arrête là.

@+

PS
Trop bavard... Freddy m'a devancé ! Salut l'homme !

freddy · 29-10-2009 11:50:32

Re,

non, t'as bien fait yoshi, c'est bien qu'on se complète dans les explications, car chacun a son mode de communication et son canal de compréhension.

La pédagogie, c'est l'art de la répétition. Et c'est bien qu'on bisse ou trisse à plusieurs voix.

A te lire avec plaisir.

Bis bald

Le-new-max · 29-10-2009 13:20:54

Merci pour vos deux réponses...

Autre question, toujours sur la base du même énoncé :

- Vérifier que pour tout x > -2 :
f(x) = 10 x - 20 + [tex]\frac{40}{x+2}[/tex]

Je ne vois pas ce qu'il faut utiliser pour le démontrer...merci.

Léo84 · 29-10-2009 13:29:20

Relis bien le long discour qu'a fait notre ami Yoshi juste avant, la réponse est dedans =)

Le-new-max · 29-10-2009 13:33:45

Oui, j'ai relu ce qu'écrivais Yoshi, et je vois bien qu'il arrive à ce que je recherche, seulement premièrement je ne comprends pas comment il y arrive et je voudrais savoir si on pouvait le faire de façon plus simple, bien que son explication paraisse claire.

Merci.

yoshi · 29-10-2009 13:51:04

Salut,

Faire plus simple ?
Non, c'est le procédé classique qui aboutit à la résolution d'un système (simple) de 3 équations à 3 inconnues...

Comment j'y arrive ?
Identifier. Ca aussi : procédure classique...
Si tu écris que 2 polynômes de même degré sont égaux, c'est que leurs coefficients sont égaux.
Par exemple
ax + b = 3x - 7 entraîne a = 3 et x =-7
ax²+bx+c = x² - 4 entraîne a = , b= 0 (puisque pas de x --> 0x) et c = -4

Mais si je relis bien la question posée après ma réponse, on ne te demande pas de faire ce que je t'ai montré, mais de vérifier l'égalité !
La nuance est d'importance :
- Moi je réponds à la question : Trouver l'équation de l'asymptote oblique en +oo,
- Toi tu dois vérifier que l'égalité donnée est vraie.

Dans ton cas, il n'y a presque rien à faire :
[tex]f(x)=10x - 20+\dfrac{40}{x+2}=\dfrac{(10x-20)(x+2)}{x+2}+\dfrac{40}{x+2}=\dfrac{(10x-20)(x+2)+40}{x+2}[/tex]
Et comme je suis un gros flemmard et que, moins je fais de calculs mieux je porte, je remarque que :
10x - 20 = 10 (x-2) et donc que (10x-20)(x+2)=10(x-2)(x+2)=10x² - 40
Donc :
[tex]f(x)=10x - 20+\dfrac{40}{x+2}=\dfrac{10x^2-40+40}{x+2}=\frac{10x^2}{x+2}[/tex]
On part du 1er membre et on montre qu'on arrive, après calculs, à la forme donnée dans le 2e...

Ca te va ?
Grâce au verbe Vérifier, il y avait plus simple : je t'ai offert en prime l'étape de difficulté suivante.

@+

Dernière modification par yoshi (29-10-2009 14:05:33)

Léo84 · 29-10-2009 13:53:02

Autant pour moi, j'ai mal aprécié la question.

En fait on te demande de prouver que f(x) =10 x - 20 + [tex]\frac{40}{x+2}[/tex]
Soit plus clairement [tex]\frac{10x²}{x+2}[/tex] = 10 x - 20 + [tex]\frac{40}{x+2}[/tex].

A partir de là, deux solutions. Soit tu pars de l'égalité de gauche et tu la bidouille un peu pour retomber sur celle de droite, soit tu par de celle de droite pour retomber sur celle de gauche. Essaye en partant de celle de droite, ce sera peut être plus simple.

Le-new-max · 29-10-2009 14:23:59

Merci beaucoup pour vos réponses :

A partir de cela, on me demande d'en déduire une asymptote à C :
Voilà ce que j'ai fait :

- On calcule f(x)-(ax+b) = 10 x - 20 + [tex]\frac{40}{x+2}[/tex] - 10x - 20 = [tex]\frac{40}{x+2}[/tex].

- On calcule la limite de la différence en -oo et +oo :
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{40}{x+2} = 0 \lim_{x \to -\infty} \frac{40}{x+2} = 0[/tex]

Donc la droite d'équation y= 10x - 20 est asymptote oblique à C en -oo et +oo.

Est ce exact ? Merci.

yoshi · 29-10-2009 15:28:17

Salut,

Oui et non....
y = 10x - 20 est l'équation de l'asymptote à la courbe parce que 40/(x+2) --> 0 quand x --> +oo
Donc f(x) - (10x - 20) --> 0 quand x --> + oo.
Je te rappelle que ta fonction a été déclarée définie sur ]-2, + oo[ dans ton premier post : ça a changé depuis ?

Ensuite quand tu écris f(x) -(10x - 20) c'est bien de ne pas oublier les parenthèses d'un côté du = mais il ne faut les oublier de l'autre côté non plus, sous peine de faute de signe !

Enfin f(x) - (10x - 20) sert aussi, grâce à son signe, à savoir si la courbe est au dessus ou au dessous de son asymptote.
Ici pour x > -2 on a f(x) - (10x - 20) > 0 donc f(x) > 10x - 20 : la courbe est au dessus.

@+

PS

Le-new-max · 29-10-2009 15:43:36

Merci beaucoup pour ces précisions...

freddy · 29-10-2009 15:57:41

Re,

le plan d'étude pour trouver une asymptote oblique est le suivant :

1 on calcule la lim en oo du quotient f(x)/x.

2 - Si elle existe (soit =a), on calcule à nouveau limite en l'infini de f(x)-ax.

3 - Si elle existe (soit b), on conclut que la droite y=ax+b est asymptote oblique à la branche infinie de C

si b est infini, on dit que a est la pente de la direction asymtotique (si mes souvenirs sont bons)

sinon, alors pas d'asymptote oblique ni de direction asymtotique de pente a à la courbe (mais faut que je revois un vieux manuel ce soir).

Brisbane

thadrien · 29-10-2009 20:00:54

yoshi a écrit :

Mais il y a une "indétermination" à lever : en effet oo/oo est une forme indéterminée.
Pour cela on met x en facteur et on simplifie :
[tex]\dfrac{10x^2}{x+2}=\dfrac{10x}{1+\frac{2}{x}}[/tex]
Ainsi quand x tend vers +oo, le numérateur tend vers +oo et le dénominateur vers 1... D'où la conclusion.

Il y a un théorème, qui dit que la limite en +-infini d'un quotient de polynômes est la limite du quotient des termes de plus haut degré. Il n'est certes pas au programme des lycées, et les profs ne veulent en général pas qu'on l'utilise mais c'est bien pratique à connaitre.

freddy · 29-10-2009 20:10:30

Re,

les bras m'en tombent : ce résultat, très facile à démontrer, n'a plus cours dans le programme du lycée ??? Je crois me souvenir qu'on faisait cela en classe de 1ere !?!

Et la règle de l'Hospital, passée à perte et fracas aussi ?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 28-10-2009 22:30:13

Fonction et asymptotes [Résolu]

#2 28-10-2009 23:32:17

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#3 29-10-2009 10:43:42

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#4 29-10-2009 10:49:05

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#5 29-10-2009 10:56:29

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#6 29-10-2009 11:17:02

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#7 29-10-2009 11:20:29

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#8 29-10-2009 11:50:32

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#9 29-10-2009 13:20:54

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#10 29-10-2009 13:29:20

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#11 29-10-2009 13:33:45

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#12 29-10-2009 13:51:04

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#13 29-10-2009 13:53:02

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#14 29-10-2009 14:23:59

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#15 29-10-2009 15:28:17

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#16 29-10-2009 15:43:36

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#17 29-10-2009 15:57:41

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#18 29-10-2009 20:00:54

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

#19 29-10-2009 20:10:30

Re : Fonction et asymptotes [Résolu]

Pied de page des forums