Des approximations originales

ciceron2 · 09-08-2009 23:02:15

Bonjour,

Une des approximations les plus simples et plus connues concerne la valeur de [tex]\phi +1[/tex], soit [tex]\phi^2[/tex], approchée à partir de la valeur de [tex]\pi[/tex] :

[tex]\phi + 1 \approx \frac {5} {6} \pi[/tex]

Dans le même genre, on peut trouver une approximation de [tex]\pi +1[/tex] à partir de la valeur du nombre e :

[tex]\pi + 1 \approx \frac {5 e} { 6 - e }[/tex]

En rapprochant les deux formules précédentes, on peut donner l'approximation suivante du nombre e à partir de [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex] :

[tex]e \approx \frac {\pi + 1} {\pi - \phi}[/tex]

Il existe une autre approximation intéressante du nombre e à partir de [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex] :

[tex]e \approx \frac {7 \pi} {5 \phi}[/tex]

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Par ailleurs, on trouve des calculs mêlant le nombre [tex]\pi[/tex] et le nombre e qui ont un résultat surprenant, approchant un nombre entier.

Premier exemple, assez connu :

[tex]e^\pi - \pi \approx 20[/tex]

Second exemple, plutôt joli et facile à retenir, à tester avec sa calculatrice :

[tex]( \pi + 6 ) \times ( 6 - e ) \approx 30[/tex]

ciceron2 · 06-09-2009 14:47:12

Dans le message précédent, j'ai parlé de la valeur approchée de [tex]\phi +1[/tex] à partir de la valeur de [tex]\pi[/tex] :

[tex]\phi + 1 \approx \frac {5} {6} \pi[/tex]

Cette comparaison entre la valeur de [tex]\pi[/tex] et celle de [tex]\phi + 1[/tex] peut s'écrire aussi de la manière suivante :

[tex]\frac {\pi} {\phi + 1} \approx \frac {\pi + 6} {\phi + 6} \approx \frac {6} {6 - 1}[/tex]

Que se passe-t-il si on compare la valeur de [tex]\pi + 1[/tex] et celle de [tex]\phi +1[/tex] ?

[tex]\frac {\pi + 1} {\phi + 1} = \frac {6.\pi + 6} {6.\phi + 6} \approx \frac {e} {e - 1}[/tex]

La symétrie entre les deux expressions est frappante :

[tex]\frac {\pi} {\phi + 1} \approx \frac {\pi + 6} {\phi + 6} \approx \frac {6} {6 - 1} ...................... \frac {\pi + 1} {\phi + 1} = \frac {6.\pi + 6} {6.\phi + 6} \approx \frac {e} {e - 1}[/tex]

N'est-ce pas poétique ? En tout cas, j'aimerais bien savoir comment cela s'explique mathématiquement. Ce ne sont que des approximations, mais je trouve que c'est quand même intéressant.

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Pour terminer, voici une approximation du nombre e à partir de [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex], dont la particularité est d'avoir les 7 premières décimales exactes :

[tex]e \approx \frac {5.\pi + 5} {\phi + 6} = 2,7182818...[/tex]

Dernière modification par ciceron2 (06-09-2009 14:48:26)

Golgup · 06-09-2009 21:07:25

Salutation,

Moi ce qui m'intéresse, c'est comment tu trouve de telles fractions, tu passes ta journée avec ta calculette?? tu ne peut pas les fabriquer puisque tu demande leurs justifications..

@+

ciceron2 · 13-09-2009 16:53:39

Bonjour,

Golgup, je me sers d'une calculette surtout pour les vérifications.

Il y a plusieurs années, un original m'a contacté, il cherchait des relations entre e, [tex]\pi[/tex] et [tex]\phi[/tex]. Il m'a amené à m'intéresser de près aux approximations fractionnaires de ces trois constantes. En effet, il existe des approximations fractionnaires de [tex]\pi[/tex] dont le numérateur ou le dénominateur sont des nombres de trois chiffres appartenant à la suite de Fibonacci : 377/120 et 732/233. 377 et 233 appartiennent à la suite de Fibonacci : 377/233 est une approximation du nombre d'or. On constate alors qu'on peut estimer grossièrement la valeur de [tex](\pi - \phi)[/tex] par le calcul suivant : 732/233 - 377/233 = 355/233. Et e dans tout ça ? Parmi les approximations fractionnaires de e, les plus connues sont 193/71 et 878/323. 193/71 peut s'écrire 965/355. Et 965, c'est 732 + 233. On aboutit à la relation suivante :

[tex]\frac {965} {355} = \frac {732 + 233} {233} \times \frac {233} {355} = \left(\frac {732} {233} + \frac {233}{233}\right) \times \frac {233} {355}[/tex]

Cela peut se traduire ainsi :

[tex]e \approx \frac {\pi + 1} {\pi - \phi}[/tex]

A partir de cette "formule", on déduit que :

[tex]e - 1 \approx \frac {\pi + 1 - (\pi - \phi)} {\pi - \phi} ; e - 1 \approx \frac {\pi + 1 - \pi + \phi} {\pi - \phi} ; e - 1 \approx \frac {\phi + 1} {\pi - \phi}[/tex]

De là, on peut dire :

[tex]\frac {\pi + 1} {\phi + 1} = \frac {\pi + 1} {\pi - \phi} \times \frac {\pi - \phi} {\phi + 1} \approx \frac {e} {e - 1}[/tex]

Quand je dis que j'aimerais savoir l'explication mathématique de cette trouvaille, je veux dire par exemple qu'on peut peut-être la comprendre en étudiant de près les séries ou les intégrales qui ont un rapport avec le nombre e et le nombre [tex]\pi[/tex]. Mais je ne suis pas assez savant pour ça. La seule chose que j'ai pu faire, c'est trouver l'égalité suivante sur le site de Wolfram,

[tex]\pi = x + 2 \sum^{\infty }_{k=1} \frac {\sin (k x)} {k}[/tex] pour x réel supérieur à 0,

et établir la somme que voilà, mêlant e et [tex]\phi[/tex] :

[tex]\sum^{\infty }_{n=1} \frac {e\,\sin (n\,\phi) - \sin (n)} {n} = 0,999935...[/tex]

Voilà ma réponse, Golgup !

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Professeur Nimbus · 27-11-2009 20:05:45

Bonsoir,
Autre formule intéressante pour pi : 355/113. Formule d'Adrien Métius comprenant les 3 premiers nombres impairs, répétés 2 fois.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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