Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ciceron2

Membre

Inscription : 29-06-2009

Messages : 8

L'illusion d'Hélène

Bonsoir,

J'ai constaté qu'il était possible de construire approximativement un rectangle d'or à partir de la courbe du logarithme népérien (Hélène pour les intimes).

1) Tracer la droite y=1. Elle coupe la courbe au point (e,1). Tracer la droite x=e.
2) Tracer une droite "oblique" telle que y=x-e. Elle coupe la courbe approximativement au point d'abscisse [tex](\pi + 1) [/tex]. Tracer la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point.
3) Repérer le point (2,0).
4) Tracer une droite "oblique" telle que y=x-2. Elle coupe la courbe approximativement au point d'abscisse [tex]\pi [/tex]. Tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par ce point. Elle coupe la droite y=x-e à un certain endroit. Tracer la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point.
5) La droite que nous venons de tracer coupe la courbe approximativement au point d'abscisse [tex](\pi - \phi)[/tex]. Tracer la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par ce point.

Résultat : On croirait voir un rectangle d'or. Trouvez-vous cela intéressant, intriguant, amusant ?

Cette bizarrerie peut s'expliquer par trois particularités :

[tex] \ln (\pi+1) - \ln (\pi-\phi) \approx 1[/tex]

[tex]\ln (\pi) \approx \pi - 2[/tex]

[tex]\ln (\pi + 1) \approx \pi + 1 - e [/tex]

Dernière modification par ciceron2 (24-07-2009 11:57:44)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : L'illusion d'Hélène

Salut,

je trouve le sujet approximativement intéressant, en effet.

C'est ça qu'on doit appeller une ellipse en rhétorique, une figure de style approximative pour dire que tout n'est qu'illusion, même les sabots d'Hélène.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : L'illusion d'Hélène

Bon,

Je vais mettre mon grain de sel, le "sarcasme" (?) de freddy oblige...
Mais d'abord, j'attrape ma casquette de gardien du temple et j'apporte une nouvelle précision :
tout comme l, mn et d'autres symboles, il y a un déjà un temps certain que le symbole signifiant environ n'est plus [tex]\simeq[/tex] mais bien [tex]\approx[/tex], (mnémonique tex : \approx) qu'on se le dise !

J'en viens maintenant à l'objet principal. Je vais prendre la problématique de ciceron2 par un autre bout, mathématiquement indiscutable celui-là.
Considérons donc la spirale suivante :

ABDF est un rectangle d'or[tex] AF = AD = \phi .AB = \phi.DF[/tex] avec [tex]\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex], le nombre d'or.
ABCH est un carré.
Le rectangle HCDF est un rectangle d'or.
Dans, ce rectangle d'or, on a tracé le carré JCD.
HJEF est un rectangle d'or, dans lequel on trace un carré FELG.
Dans le rectangle d'or HJLG, on trace le carré HING.
Dans le rectangle d'or IJLN, on trace un carré IJKP.
Dans le rectangle d'or PKLN, on trace... etc...
On tend vers un point Z.
On peut trouver un "rayon-vecteur" rv tel que la spirale d'équation (en coordonnées polaires) [tex]\displaystyle lg = rv.\phi^{{\theta/ 90}}[/tex] est tangente en Q, O, M, K, J, G, E, C et donc reste dans le rectangle d'or de départ avec l'angle thêta variant de 0 à 1720° par exemple pour 4 tours 1/2.
Avec angles en radians : [tex]lg = rv.\phi^{{2\theta/ \pi}}[/tex]
J'avais réalisé ce travail par le passé avec le BASIC de mon Amstrad CPC 6128.
Une telle spirale est dite spirale logarithmique...

Maintenant, si on reste dans l'à peu près, on a déjà cru pouvoir  constater :
- que sur une tige de plante on passe d'une feuille à une autre en à peu près [tex]{1\over\phi}e[/tex] tour,
- que le rapport entre la 3e et la 2e, la 2e et la 1ere phalange d'un doigt est environ [tex]\phi[/tex],
- que le nombril serait placé de façon à partager le corps en sections dorées...

De même on a cru pouvoir déduire des tas de choses des dimensions des pyramides ;-)

@+

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : L'illusion d'Hélène

Yoshi, moi, "sarcastique", m'enfin, je laisse cela au jeune nerosson, m'enfin !

Sinon, j'aime bien l'approximation de la spirale logarithmique par le spirale de Fibonacci.

Quant aux pyramides, cela me rappelle cette courte histoire.

Après avoir gagné le gros lot à l'EuroMillions (1 chance sur 75 millions !) un couple fit un voyage culturel en Grèce.
A leur retour, une grande fête. Dans le courant de la soirée, quelqu'un leur demanda comment étaient les Hellènes.
Ils ne surent que répondre ...

Une rapide visite sur Lexilogos les renseigna : Hellène, habitant de l'Hellénie ou Grèce.

L'année suivante, ils firent une séjour linguistique en Suisse. Au retour, une fête et la question qui tue : comment sont les Helvètes ? ... Quelques heures plus tard, grâce à TLF, ils surent qu'ils s'agissaient des habitants des Cantons Helvétiques, communément appelés la Suisse.

Cinq ans plus tard, ils firent un voyage en amoureux en Égypte. Au retour, une fête. Durant la fête, la question qui doit rendre muet :  comment sont les Pyramides ? Mais le mari répondit promptement  : " Oh, laissez tomber, toutes des salopes ! ..."

nerosson

Membre actif

Inscription : 21-03-2009

Messages : 1 658

Re : L'illusion d'Hélène

J'arrive, Freddy,
Quand j'ai vu cette courbe si gracieuse, je me suis dit que seules deux catégories d' "individus" étaient capables de réaliser ce chef-d'oeuvre : les profs de maths et les escargots.
Par contre, sur le plan gastronomique, la palme revient aux escargots !

SébastienB

Membre

Lieu : Annecy

Inscription : 16-06-2008

Messages : 55

Re : L'illusion d'Hélène

Bonsoir,

Après avoir vu la suite de Syracuse sur votre super forum, j'ai voulu revoir bien evidemment aussi la suite de Fibonacci et de là je suis tombé sur le nombre d'or que je connaissais bien pour l'avoir à plusieurs reprises mis en pratique dans des maquettes en bois.
Si je peux me permettre, moi je trouve cela tout simplement épatant de constater à quel point tout est lié, particulièrement avec les mathématiques.
Maintenant, de là à trouver aussi un lien avec l'identité d' Euler ?
☺http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or
☺http://www.youtube.com/user/VeritySeeker

Merci.
@+

ciceron2

Membre

Inscription : 29-06-2009

Messages : 8

Re : L'illusion d'Hélène

Si j'ai bien compris, en simplifiant au maximum :

- pour un point pris dans une spirale d'or, le logarithme en base [tex]\phi[/tex] de la longueur du rayon est proportionnel à la longueur de l'angle.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : L'illusion d'Hélène

Bonjour,

Si je comprends bien ton résumé, oui à partir de :
[tex]lg=rv.\phi^{2\theta \over \pi}[/tex]
je peux écrire :
[tex]log_\phi(lg)={2\log_\phi(rv)\over \pi}*\theta[/tex]
où, pour une spirale donnée :
[tex]{2\log_\phi(rv)\over \pi}[/tex] est une constante...

Ceci dit, c'est vrai aussi avec le log népérien :
[tex]\ln(lg)={2\ln(rv)*\ln(\phi)\over \pi}*\theta[/tex]

[tex]{2\ln(rv)*\ln(\phi)\over \pi}[/tex] : pour une spirale donnée, on a aussi une constante.

@+