Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freddy

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Suite périodique pédagogique [Résolu]

Bonjour à toutes et à tous,

dans le cadre d'une épeuve de pédagogie au concours d'entrée au forum de Bibm@th.net,  j'aurais  besoin d'un petit coup de main.

J'aimerais savoir si la suite [tex](U_n)[/tex] définie par :

[tex]U_{n+2} = \left|  U_{n+1}\right| - U_n[/tex]

avec [tex]U_0 = a[/tex] et [tex]U_1=b[/tex] deux entiers quelconques

est périodique ?

Dans l'affirmative, quelle serait sa période ?

J'ai trouvé une période de 30, mais ne suis pas tout à fait certain de ma démonstration.

Quelqu'un aurait il l'amabilité SVP de m'aider à le prouver ? Merci d'avance.

Question supplémentaire : faut il poser une condition sur la valeur initiale a ?

Freddy

Fred

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Bonjour,

  A part calculer les premiers termes de la suite jusqu'à trouver [tex]u_p=a[/tex] et [tex]u_{p+1}=b[/tex] et en déduire que la période est p, je ne vois pas bien comment faire...
Evidemment, ca peut dépendre de a et de b. Par exemple, si a=b=0, c'est très vite périodique!

Fred.

freddy

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Bonjour et merci Fred de votre aide.

Mais je ne sais toujours pas comment faire ?

Y a t-il une méthode pour résoudre ce genre de problème, ou bien faut il simplement bourriner et développer tous les calculs selon la position de a par rapport à b ?

Merci d'avance d'une ombre d'un soupçon d'un début de commencement de solution.

Freddy

Fred

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

J'opterais pour la méthode bourrin!
Mais il y a peut-être mieux.....

Fred.

freddy

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Merci Fred, c'est bien ce que je pensais.

timtim

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

je ne sais si mon intervention peut apporter quelque chose bon je veux juste te dit d'essayer aussi Un+p=Un et tu determine la valeur de p qui est la periode

cléopatre

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Bonjour à tous !

J'ai fais un petit programme qui va peut être vous interresser...
J'ai fait un programme et bizarement je trouve une période égale à 10 à chaque fois sauf pour le cas a=b=0 où la suite est constante et nulle...

Si vous voulez je vous met mon programme. J'ai mis les réponses des périodes sous forme de matrices. Et effectivement j'ai par exemple ce genre de réponse :
L'élément (i,j) correspond à la période pour a=i et b=j.

[|[|2; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|];
   [|10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10|]|]

A vrai dire j'ai fais un test pour voir si il existait 2 nombres a et b inférieur à 1000 tels que la période soit différent de 10 et il n'y en a pas...

Par contre j'appelle période le n tel que Un=a et Un+1=b donc en réalité il y aura que 9 valeurs. On peut dire que c'est 9 la période...

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (15-04-2009 19:10:45)

Fred

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Salut,

  C'est plus encourageant que ce soit 10 que 30. On peut vraiment se lancer dans le calcul
des différents cas....

Fred.

cléopatre

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Salut!

Bon ben j'ai voulu commencer pour faire plaisir à Freddy mais bon franchement c'est pas très rigolo. Il faudrais faire tous les cas pour traiter les valeurs absolues. a>b, a=b, a<b et pas seulement !
Pendant les calculs on est aussi amener à comparer b avec 2b, 3b... enfin les cas se multiplient.

J'ai envie de dire bonne chance Freddy. Un moyen pour aboutir serait de faire un tableau et de traiter les cas en parallèle avec excel par exemple parce que sur une feuille tu t'y perdras et t'y prendras par plusieurs fois.

Tu peut aussi envisager de le faire avec maple par exemple, en le guidant, en indiquant tous les cas possibles et il te fera le calcul.

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (16-04-2009 13:33:45)

freddy

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Merci cléopatre de ta gentillesse.
C'est un sujet TRÈS emm ... à résoudre, et il faut le faire comme tu dis. D'où ma période de 30 (dont je ne suis pas certain, je crains une facétie d'un de mes fils) ... Je n'ai pas Maple, donc j'ai fait à la mimine ...
Merci de ta gentillesse,
avec confraternité
Freddy

Dernière modification par freddy (18-04-2009 11:30:58)

freddy

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Bonjour,

la périodicité est bien égale à 10 ssi a et b ne sont pas nuls en même temps. Merci Cléopâtre.
Je pense que le résultat est le même si a et b sont des entiers relatifs.
c'est le travail que doit faire mon grand "petit dernier" pour se faire pardonner !

A bientôt, et merci encore.

Freddy

Dernière modification par freddy (21-04-2009 06:38:43)

freddy

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Re : Suite périodique pédagogique [Résolu]

Suite ... et fin.

On suppose [tex] b \ge a [/tex]
On a :
  [tex] U_2 = b - a[/tex]
  [tex] U_3 = - a[/tex]
  [tex] U_4 = 2\times a - b[/tex]
On suppose que  [tex] 2\times a - b \ge 0[/tex]
On a  :
  [tex] U_5 = 3\times a - b[/tex]
  [tex] U_6 = a[/tex]
  [tex] U_7 = b - 2\times a[/tex]
* [tex] U_8 = a - b[/tex]
  [tex] U_9 = a [/tex]
  [tex] U_{10} = b[/tex]

Si  [tex] b > 2\times a[/tex] alors :
[tex] U_5 = b - a [/tex]
[tex] U_6 = 2\times b - 3\times a [/tex]
[tex] U_7 = b  -2\times a[/tex]
et on se branche sur *

Si  [tex] a > b [/tex] alors :
[tex] U_3 = a - 2\times b [/tex]

si [tex] a < 2\times b [/tex] alors :
  [tex] U_4 = b [/tex]
  [tex] U_5 = 3\times b - a [/tex]
** [tex] U_6 = 2\times b - a [/tex]
  [tex] U_7 = - b [/tex]
  [tex] U_8 = a - b [/tex]
  [tex] U_9 = a [/tex]
  [tex] U_{10} = b [/tex]

Sinon
  [tex] U_4 = 2\times a - 3\times b[/tex]
  [tex] U_5 = a - b [/tex]
et on se branche sur **

Dernière modification par freddy (27-04-2009 18:02:10)