Forum de mathématiques - Bibm@th.net

SébastienB

Membre

Lieu : Annecy

Inscription : 16-06-2008

Messages : 55

Relations et classes d'equivalences [Résolu]

Bonjour,

J'ai quelques exercices de démonstrations de relations à faire. En faisant un diagramme cartésien , pas de pb j'ai bien compris et je vois bien si la relation est symétrique, antisymétrique ou transitive; mais pour le démontrer avec du langage mathématique c'est une autre histoire pr moi.
Pouvez vous me filer un coup de pouce s'il vous plait ?

1.)[tex]E = \mathbb{R}, \ x \ \Re \ y \ \Leftrightarrow  \ x = - y[/tex]

Je dirai que la valeur absolue de y correspond à celle de x donc la relation est réflexive, symétrique et antisymétrique car elle se trouve sur la diagonale du diagrame cartésien.

2.)[tex]E = \mathbb{R}, \ x \ \Re \ y \ \Leftrightarrow \ (\cos{x})^2 + (\sin{y})^2 = 1[/tex]

C'est comme au 1 car [tex]\forall x \in \mathds{R}, (\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1[/tex]

3.)[tex]E = \mathbb{N}, \ x \ \Re \ y \ \Leftrightarrow [/tex] il existe p et q deux nombres supérieurs ou égaux à 1 tels que [tex]y = p \times x^q[/tex]

Si p et q valent 1, alors y = x et c'est réflexif, sinon c'est antisymétrique et je ne pense pas que ce soit transitif car je ne vois pas d'application g (ni de f d'ailleurs) telle que [tex]g \circ f(x) = y[/tex], en effet, si x vaut 2 et p vaut 2 et q vaut 1, on a y = 4 et si x vaut 1 et p vaut 3 et q vaut 1, on a y = 3 et dans ce cas là on devrait avoir     
x = 1 en relation avec y = 4 pour que ce soit transitif, or ce n'est pas le cas.
Mais j'ai un doute sur la validité de ma démonstyration alors merci de votre aide en tt cas.

4.)Soit [tex]E = \mathbb{Z}[/tex] muni de la relation [tex]\Re[/tex] telle [tex]x \ \Re \ y \ \text{si} \ x+y \ \text{est pair}[/tex]. Montrer que [tex]\Re[/tex] est une relation d'équivalence et donner les classes d'équivalence de [tex]\Re[/tex]

Pour avoir une relation d'équivalence, il faut qu'elle soit réflexive, symétrique et transitive.
C'est réflexif car par exemple [tex]2 \ \Re \ 2[/tex], symétrique car [tex]2 \ \Re \ 3 \ \text{et} \ 3 \ \Re \ 2[/tex] et transitif car on a bien 5 en relation avec 3 et 3 en relation avec 5 qui donne que le nombre 10 qui est pair est bien l'addition de 5 en relation avec 5.

par exemple pour l'ensemble [tex]E = \{-2,2,3,5\} [/tex]
Je dirai que les classes d'équivalence sont [tex]\frac{E}{\Re} = \big\{\bar{-2},\bar{3}\big\}[/tex]

Merci bien d'avance, si vous pouver m'en dire plus.
@+

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Relations et classes d'equivalences [Résolu]

Bonjour,

1) La relation n'est pas réflexive car on n'a pas 1R1 : 1 est différent de -1

2)La relation est réflexive, symétrique pour la raison que tu as donné.
Elle n'est pas antisymétrique car [tex] 0\mathcal R 2\pi[/tex] et [tex]2\pi \mathcal R 0[/tex] alors
que [tex]0\neq 2\pi[/tex]

3)OK pour réflexif et antisymétrique.
Il me semble aussi que c'est transitif.
Si [tex]x\mathcal R y[/tex], alors il existe p, q entiers avec [tex]y=px^q[/tex]
Si [tex]y\mathcal R z[/tex], alors il existe a, b entiers avec [tex]z=ay^b[/tex]

Mais alors
[tex]z=a(px^q)^b=(ap^b)x^{qb}=cx^d[/tex]
avec [tex]c=(ap^b)[/tex] et [tex]d=qb[/tex].
Et donc [tex]x\mathcal R z[/tex].

4)Je ne comprends pas ta démonstration. Il ne faut pas se contenter de donner des exemples, mais il faut faire
le raisonnement en toute généralité.
* la relation est réflexive, car x+x=2x est un entier pair.
* la relation est transitive, car si x+y est pair, y+z est pair,
alors x+y=2k, y+z=2l, et en faisant la somme des deux
x+2y+z=2k+2l, soit x+z=2(k+l-y) est pair.
* la relation est symétrique, car x+y=y+x.

Pour cette relation d'équivalence, il y a exactement deux classes d'équivalence :
- l'ensemble des entiers pairs, notons le P
- l'ensemble des entiers impairs, notons le I.
On a en effet deux ensembles disjoints dont la réunion est Z. Clairement deux éléments de P sont en relation,
ainsi que deux éléments de I. Enfin, un élément de P et un élément de I ne sont pas en relation.
Ce sont donc les deux classes d'équivalence de la relation. On peut aussi voir P comme la classe d'équivalence
de 0, et I comme la classe d'équivalence de 1.

Fred.

SébastienB

Membre

Lieu : Annecy

Inscription : 16-06-2008

Messages : 55

Re : Relations et classes d'equivalences [Résolu]

Merci pour cette réponse rapide.
À bientôt