Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cléopatre

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Convergence uniforme [Résolu]

Bonjour les Matheux !

J'espère que ceux qui sont en vacance profitent et que ceux qui ne le sont pas qui continuent à faire des maths...

Je voulais savoir un truc parceque j'ai l'impression que je commence à m'embrouiller. Lorsqu'on s'embrouille, il faut appeler qui ? BIBMATH !

Question : Est ce que [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}[/tex] converge uniformément sur R+ vers exp(x) ?

Voilà, je sais déjà que la somme converge bien entendu sur tout compact et qu'elle converge simplement (on peut le monter avec le reste intégrale).

PS : je suis désolé, j'ai pris un exemple en latex pour allez plus vite et lorsque j'ai voulu cliquer sur "prévisualisation", j'ai malheureusement clicquer sur "Envoyer".. Ensuite, il m'a était impossible d'aller sur la page, j'avais un problème.

Bises de Cléo ;)

Dernière modification par cléopatre (14-04-2009 16:10:41)

Fred

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

Bonjour Cléo,

  Je ne comprends pas ta question. Que vient faire exp(x) ici?
Tu n'as qu'une série numérique, pas de série de fonctions, pourquoi parler de convergence uniforme?

Fred.

freddy

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

Bonjour Cléopatra

je rebondis sur la remarque de Fred et te dirais : que vaudrait x dans l'histoire ?

Ne confondrais tu pas un peu les choses ? Va voir dans le dico de la Bibmath et reprends la définition de la convergence uniforme, tu verras les écarts.

Puis va voir le "papier" sur Euler dans le même Bibmath et comprendre tu pourras ...

Au plaisir de te lire !
Freddy

Dernière modification par freddy (14-04-2009 16:14:47)

Fred

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

Bonjour,

  Il n'y a pas convergence uniforme, et je vais te donner une réponse indirecte.
On note [tex]S_N[/tex] la somme partielle jusqu'au rang N.
Si on convergence uniforme vers exp(x), alors
sur [0,+oo[, [tex]S_N \exp(-x/2)[/tex] converge uniformément sur [0,+oo[
vers exp(x/2) (à justifier bien sûr, mais ce n'est pas dur...).
Mais alors, on pourrait appliquer le théorème de la double limite. Mais comme, pour chaque N,
[tex]\lim_{x\to+\infty}S_N(x)\exp(-x/2)=0[/tex]
alors que
[tex]\lim_{x\to+\infty}\exp(x/2)=+\infty[/tex]
on obtient une contradiction.

Fred.

cléopatre

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

Bonjour Fred !

En fait si j'ai bien compris, on suppose la convergence uniforme et on applique le théorème de la double limite c'est à dire lim n->infini x->inifini = lim x->infini n->inifini car il y a convergence uniforme sur un [b,infini[ en l'occurence [0,infini[. En utilisant ce théorème on arrive a 0 = infini et donc on a une contradiction. Comme toutes les autres hypothèses sont vérifiées (Pour tout N, la fonction Sn admet une limite finie en a) alors forcément il y a convergence uniforme.

Et ben écoute Fred je trouve que c'est brillant, bravo si j'ai bien compris. Parce que nous les taupins ou plutôt moi ne généralisons pas, je fais ce raisonnement avec les théorèmes faciles du genre théorème de continuité de la limite ou limite de l'intégrale = intégrale de la limite mais pas avec ce théorème ci.

Bises de Cléo

PS : si tu as des petits raisonnement ou des conseils un peu autour de ce sujet n'hésite pas à poster. De toute manière j'ai déjà une autre question ;)

Fred

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

Re-

  En fait, il y a beaucoup d'autres démonstrations, une plus générale se trouve à l'exercice 12 de
la feuille sur les suites et séries de fonctions de la bibliothèque d'exercices : si une suite de polynômes converge uniformément sur R, la limite est un polynôme. Ce n'est pas très compliqué à démontrer, avec un petit coup de critère de Cauchy uniforme.

Fred.

cléopatre

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

Bonjour Fred!

J'ai bien regarder une bonne partie des exos. Il y a des choses vraiment bien. Cependant, j'ai quelques souci de théorie. En effet, pour prouver la convergence uniforme, je connais la méthode donc en général je sais faire. Par contre, pour prouver la non-convergence uniforme j'ai beaucoup plus de mal mais je commence à comprendre la technique. Cela dit je suis tout de même hésitant.

Quelle est l'argument qui nous permet de dire que si on trouve une suite (Un) tel que Fn(Un)-F((Un)) soit minorée par une constante non nulle alors on peut dire qu'il n'y a pas convergence uniforme ?

A vrai dire je crois connaitre la réponse : parceque on trouvera toujours un x tel que Fn(x)-F(x) soit plus grand que espilon... C'est tellement bien que j'arrive pas à franchir le pas. Cependant, il me semble tout de même que à chaque fois il faut vérifier que la suite est un à valeur dans l'ensemble de définition, n'est ce pas.

Merci pour tous les exercices, ils sont très bien choisis. Je conseille à tous d'y jeter un coup d'oeil ;)

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (15-04-2009 18:05:13)

timtim

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

slt cleo
moi je peux dit qu'ici nous avons une serie entiere et pour calculer le rayon de vonvergence tu peux appliquer la methode de d'alembert et la serie converbien dans son rayon de convergence vers exp(x)

cléopatre

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Re : Convergence uniforme [Résolu]

Bonjour timtim !

Oui je sais bien qu'il y a convergence simple d'ailleurs c'est vrai que la règle de d'Alembert la donne directement mais je voulais savoir si il y avait convergence uniforme

A plus