Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cléopatre

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Prolongement par continuité [Résolu]

Bonjour à tous !

Je voudrais savoir si quelqu'un saurait me prolonger par continuité la fonction 1/x-1/sin(x). Je sais qu'il faut utiliser les séries mais bon je voudrais savoir comment on fais et pourquoi on peut le faire (question assez vague désolé). Oui en effet, je voudrais savoir pourquoi si f DSE (développable en séries entières, on a forcément f^-1 DSE)

Du même, type, il y a la fonction x/(sin(x) je crois...

Bises de Cléo

Fred

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Re : Prolongement par continuité [Résolu]

Bonjour,

  Si tu ne veux que prolonger par continuité, pas besoin de série entière, un DL suffit....
Tu écris
[tex]\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{x+o(x^2)}=\frac{1}{x}\times\frac{1}{1+o(x)}=\frac{1}{x}(1+o(x))=\frac{1}{x}+o(1)[/tex]

On en déduit
[tex]\frac{1}{x}-\frac1{\sin x}=o(1)[/tex]
et donc la fonction se prolonge par continuité en 0 en posant f(0)=0.

Là où les séries entières sont utiles, c'est pour démontrer que la fonction est en fait C^infini en 0.
Bon, démontrer que l'inverse d'une série entière dont le premier coefficient n'est pas nul est encore développable en série entière, cela se fait....mais ce n'est pas si facile!
Si ca t'intéresse, je peux essayer d'écrire qqch!

Fred.

cléopatre

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Re : Prolongement par continuité [Résolu]

Rebonjour Fred !

Oui voilà, c'est ça que je veux... montrer que c'est Cinfini. En effet, après avoir écrit le message, je me suis rendu compte qu'il me semblait qu'un DL suffisait.

Je suis partant pour tu tu m'écrives la solution pour Cinfini.

J'ai réfléchi au DSE de l'inverse si le premier coefficient est non nul. Je suis tomber sur un système ayant une solution se calculant par récurrence. Je ne sais pas si tu vois ce que je veux dire. On est juste ramené à la résolution d'un système où la première équation nous donne le premier coefficiant et la deuxième équation nous donne le deuxième coefficient en injectant avec la première équation, etc...

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (05-04-2009 15:39:28)

cléopatre

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Re : Prolongement par continuité [Résolu]

Salut les bibmatheux !

Je vais posais ma question à tout le monde, c'set plsu sympas... Après tout on est là pour ca non?

Quelqu'un sait il comment prouver que la fonction [tex]\frac{1}{x}-\frac1{\sin x}[/tex] est Cinfini ?

Il faut utiliser les séries entière mais j'ai jamais su faire...

Bises de Cléo

Fred

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Re : Prolongement par continuité [Résolu]

Bonjour Cléopatre,

Tu écris :

[tex]\frac 1x-\frac 1{\sin x}=\frac{\sin x-x}{x\sin x}[/tex]
puis tu écris le développement en série entières du numérateur et du dénominateur.
On peut simplifier par x^2 en haut et en bas, et donc il te reste au dénominateur une
série entière du type 1+....

Il te reste à démontrer que l'inverse d'une série entière est une série entière, ce que tu nous as dit savoir faire
(sinon, entretemps, j'ai ajouté l'exercice dans la base de données d'exercices du site

Fred.

cléopatre

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Re : Prolongement par continuité [Résolu]

Merci de m'avoir répondu Fred.

J'ai compris la manière pratique. Mais le problème c'est que j'ai beaucoup de mal à conclure. On a maintenant la fonction sous la forme d'une série entière. Par conséquent, comme toutes fonctions DSE au voisinage de 0, elle est Cinfini. Du moins comme il existe un intervalle voisinage de 0 où la fonction est DSE alors on peut conclure.

Merci à toi... Contredit moi si j'ai tord.

Bises de Cléo

Fred

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Re : Prolongement par continuité [Résolu]

Oui, c'est cela. Une fonction qui est développable en série entière dans un voisinage de 0 est continue, c infinie en 0.

Fred.