Forum de mathématiques - Bibm@th.net

marielle

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geometrie

bonjour à tous
je suis nul dans ce genre de question
Montrez que dans un triangle isocèle ABC (AB = AC)
1° les bissectrices des angles à la base sont égales
2° les hauteurs relatives aux côtés égaux sont égales
conseil les deux questions sont des applications de cas d'égalité des triangles
j'ai besoin d'aide s'il vous plait

yoshi

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Re : geometrie

Bonjour,

Non, les hauteurs relatives aux côtés ne sont pas "égales", non les bissectrices des angles à la base ne sont pas égales, ce la signifierait que ces "lignes géométriques" sont les mêmes.
Que leurs longueurs soient égales, oui...
Je considère un triangle ABC isocèle de sommet principal A.

*** Cas des bissectrices ***
Je trace la bissectrice de l'angle ABC, elle coupe [AC] en I.
Je trace la bissectrice de l'angle ACB, elle coupe [AB] en J.
J'appelle O le point d'intersection de ces 2 bissectrices.
Je veux montrer que BI = CJ.
Exploration des pistes.
La première idée est de montrer que les triangles BIC et CJB sont égaux avec 1er ou le 2e cas :
- 2 angles égaux ayant ici 1 côté commun [BC]... (1)
- 2 côtés de même longueur et l'angle entre les deux. (2)
Pour (1) on a BC commun l'angle BCI  et l'angle CBJ égaux comme angles à la base du triangle isocèle  + les angles CBI et BCJ égaux comme moitiés des angles à la base égaux du tr isocèle...
Donc ?

Pour (2), il faut le côté [BC], mais aussi montrer que JB = IC, ensuite sachant que les angles BCI et CBJ sont égaux comme angles à la base du triangle isocèle, tu as ton cas d'égalité. Mais pour montrer que BJ = CI, il faut passer par l'égalité des triangles  BOJ et COI qui ont deux anglrs BOJ et COI égaux comme opposés par le sommet, OBJ et OCI demi-angles à la base... Après il faut encore montrer que OB = OC. Facile [AO) est aussi une bissectrice, mais donc aussi une médiatrice et OB = OC...
Bien trop long par rapport à (1) qui est bien plus direct.

Solution
On reprend la construction donnée.
On reprend la méthode (1)
Et quand on sait que ces triangles sont égaux, on peut que "les éléments homologues" sont égaux commme on disait de mon temps..

*** Cas des hauteurs ***
(faire un autre dessin, vivement conseillé).
Je trace la hauteur relative au côté [AC] : j'appelle H le pied de cette hauteur.
Je trace la hauteur relative au côté [AB] : j'appelle K le pied de cette hauteur.
J'appelle O le point d'intersection de ces 2 hauteurs
Je veux montrer que BI = CJ.
Exploration des pistes.
Fort de l'exploration précédente, je regarde tout de suite le cas 2 angles + 1 côté.
Je je prends cette fois les triangles BHC et CKB.
* 1 angle droit
* 2 angles en B et C égaux comme angles à la base du tr. isocèle...
Et le côté [BC] commun...
On se dit : ça doit marcher...

[b ]Solution[/b]
Oui mais... si on regarde sa leçon de près, on voit qu'il faudrait avoir BK = CH, pour utiliser Les angles à la base  et les angles droits...
Petit contretemps.. Pour utiliser [BC] il faut avoir l'égalité  [tex]\widehat{BCK} = \widehat {CBH}[/tex]
Facile (AO) est aussi une hauteur ; celle relative à [BC].
Et comme ABC est isocèle, par conséquent (AO) est aussi la médiatrice [BC].
Donc OB = OC donc BOC est isocèle de sommet principal O on a : [tex]\widehat{BCO} = \widehat {CBO}[/tex]
Et on étant sur [BH] et [CK], on peut écrire :  [tex]\widehat{BCK} = \widehat {CBH}[/tex] ce sont les mêmes angles avec un autre nom...
Résumé
K étant sur [BA] et H sur [CA] : [tex]\widehat{KBC} = \widehat {ABC}[/tex] et [tex]\widehat{HCB} = \widehat {ACB}[/tex]
Donc dans les triangles BCH et CBK, on a :
* [tex]\widehat{KBC} = \widehat {HCB}[/tex] ... 1er angle
* [tex]\widehat{BCK} = \widehat {CBH}[/tex] ... 2e angle
* [BC] commun
Conclusion ?

@+

marielle

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Re : geometrie

merci pour la demonstration félicitation