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#1 29-12-2008 16:19:48
Cosinus du double d'un angle[Résolu]
Bonjour,
J'ai un exercice de math a faire mais je ne comprend pas comment le résoudre car je ne comprends pas pas trop la trigonométrie. Pouvez vous m'aider s il vous plait ?
Le segment[AB] est le diametre du demi-cercle de centre o et de rayon 1 représenté sci-dessous
on pose [tex]\widehat{MAB}= \alpha[/tex]
ABM triangle
M appartient au demi-cercle de centre O
MC hauteur issue de M passant par AB (coupe AB du coté BO sur le shema)
Et on supose dans cette exercice que [tex]\widehat{MBO}[/tex] [tex]>\widehat{MAB}[/tex]
1)demontrer que [tex]\cos\alpha = \frac{AM }{2}[/tex]
et [tex]\cos\alpha=\frac{AC}{AM}[/tex]
2)a)Pourquoi a-t-on [tex]\alpha< 45^\circ[/tex] ?
b)Démontrer que [tex]\cos2\alpha = AC-1[/tex]
3)Déduire de ce qui précède que [tex]\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1[/tex]
merci d'avance
aurevoir
Dernière modification par beguise (30-12-2008 11:30:52)
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#2 29-12-2008 17:47:27
- yoshi
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Re : Cosinus du double d'un angle[Résolu]
Bonsoir,
Utilisation de Latex : c'est bien ! Au fait le code de cos c'est \cos et celui de alpha est \alpha... Edite ton message et regarde-le !
J'ai rectifié au passage une erreur :
ce n'est pas [tex]\cos2\alpha=\cos^2\alpha-1[/tex] mais [tex]\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1[/tex]
Bon, de quoi as-tu besoin (pour le moment) en trigo ? Des définitions de Sin, Cos et Tan...
Pour t'aider, si nécessaire, à les retenir, une phrase idiote :
<< Mon cacatoès s'appelle SOHCAHTOA. >>
SOH --> Sinus Opposé Hypoténuse
CAH --> Cosinus Adjacent Hypoténuse
TOA --> Tangente Opposé Adjacent
Question 1.
Puisque M est sur le demi-cercle de diamère [AB] alors le triangle AMB est rectangle en M.
Dans le triangle ABM rectangle en M, tu écris le Cosinus de l'angle [tex]\alpha[/tex] et tu n'oublies pas que rayon = 1 donc AB = 2...
[MC] est une hauteur, donc le triangle AMC est rectangle en C.
dans ce triangle, tu réécris [tex]\cos\alpha[/tex]
Question 2
a) Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires --> leur somme vaut 90°.
Tu remplaces, dans la somme, [tex]\widehat{MBA}[/tex] par [tex]\alpha[/tex], tu as donc unz somme inférieure à 90°... Tu n'as plus qu'à continuer...
b) L'angle [tex]\widehat{MOC}[/tex] est un angle au centre qui intercepte l'arc MB
L'angle [tex]\alpha[/tex] est un angle inscrit qui intercepte le même arc MB
Par conséquent (prg de 3e) : [tex]\widehat{MOC}=2\alpha[/tex]
Le triangle MCO est rectangle en C.
Dans ce triangle tu vas compléter [tex]\cos2\alpha=\frac{..}{..}[/tex]
Et puisque [tex]C\in[OB][/tex] alors OC = AC - AO...
A toi de prendre la suite...
Question 3.
Tu pars de ton b)
Puis tu remplaces AM grâce à la 2e ligne de l'énoncé de la question 1, puis dans la formuke obtenue, tu remplaces cette fois AM grâce à la première de ta question 1.
@+
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#4 30-12-2008 11:51:51
- yoshi
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Re : Cosinus du double d'un angle[Résolu]
Re,
C'est un oiseau des îles, genre Perroquet...
Cette phrase idiote n'a été écrite comme ça à cause de la ressemblance de sonorité entre cacatoès et sohcahtoa, elle n'a d'autre prétention que d'être un moyen mnémotechnique efficace pour se souvenir des formules de trigo de base...
Et à part ça, concernant ton problème ?
@+
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#7 03-01-2009 11:51:10
- yoshi
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Re : Cosinus du double d'un angle[Résolu]
Bonjour,
J'ai pourtant écrit (ou alors je ne comprends pas ta question) :
Question 2
a) Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires --> leur somme vaut 90°.
Tu remplaces, dans la somme, [tex]\widehat{MBA}[/tex] par [tex]\alpha[/tex], tu as donc unz somme inférieure à 90°... Tu n'as plus qu'à continuer...
Donc, dans le triangle MAB rectangle en M, tu as :
[tex]\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90^\circ[/tex]
D'où
[tex]\alpha+\widehat{MBA}=90^\circ[/tex]
Et si dans cette égalité, tu remplaces [tex]\widehat{MBA}[/tex] par [tex]\alpha[/tex], soit un angle plus petit, tu minores de ce fait cette somme qui devient inférieure à 90° :
[tex]\alpha+\alpha<90^\circ[/tex]
Ca te va ?
@+
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#9 03-01-2009 15:25:44
Re : Cosinus du double d'un angle[Résolu]
mai se que lon demande c'est"Pourquoi a-t-on alpha [tex]<45°[/tex] ?pas a 90°"
et pourquoi tu te permet de dire [tex]M\widehat{B}A[/tex] =alpha
Dernière modification par beguise (03-01-2009 15:50:24)
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#11 03-01-2009 17:15:19
- yoshi
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Re : Cosinus du double d'un angle[Résolu]
Re,
Question que je pensais pourtant évidente... Il faut croire que j'étais optimiste : tu dois passer d'une égalité,
[tex]\alpha+\widehat{MBA}=90^\circ[/tex], à une inégalité [tex]\alpha<45^\circ[/tex]
Alors, je vais partir de la fin et remonter à la source.
Si [tex]\alpha<45^\circ[/tex] alors je peux écrire [tex]2\alpha<90^\circ[/tex] ou encore [tex]\alpha+\alpha<90^\circ[/tex].
OK ?
Toute la question est donc maintenant : comment arriver à [tex]\alpha+\alpha<90^\circ[/tex] en partant de l'énoncé ?
Et je réponds à une question par une autre question : pourquoi diantre crois-tu qu'on ait cru bon de préciser dans l'énoncé que [tex]\widehat{MBA}>\widehat{MAB}[/tex] ?
Un exemple numérique : 5 + 7 = 12...
Si à la place de 7, j'écris 6, 6 étant plus petit que 7 alors je peux écrire que 5 + 6 < 12 et même que 5 + 5 < 12 soit 5 * 2 < 12 et donc encore que 5 < 12/2...
Je n'ai pas dit que 7 = 5 : j'ai simplement dit que si je remplace 7 par un nombre plus petit que alors la somme 5 + le nombre n'est plus égale à 12, mais qu'elle est inférieure à 12...
ok ?
Donc, dans le cas qui nous préoccupe si dans la somme [tex]\alpha+\widehat{MBA}=90^\circ[/tex], je remplace l'angle [tex]\widehat{MBA}[/tex] par n'importe quel angle de plus petite mesure, cette somme n'est plus égale à 90°, elle est inférieure à 90°...
Et puisque c'est vrai pour n'importe quel angle plus petit, autant en choisir un qui va résoudre notre problème, à savoir [tex]\alpha[/tex] et on obtient: [tex]\alpha+\alpha<90^\circ[/tex]...
La démonstration est inutile de ceci n'est pas utile et pas à faire : on se contente de dire qu'on va minorer la somme [tex]\alpha+\widehat{MBA}[/tex] en remplaçant [tex]\widehat{MBA}[/tex] par [tex]\widehat{MAB}[/tex] (c'est à dire par [tex]\alpha[/tex]) qui lui est inférieur comme précisé dans l'énoncé...
Maintenant si tu veux voir cette preuve, la voilà.
D'abord rappel d'une propriété des inégalités :
[tex]\forall x,y,z \in \mathbb{R}[/tex], si [tex]x<y[/tex] alors on a [tex]x+z<y+z[/tex]. Vu ?
Donc puisqu'on a [tex]\alpha<\widehat{MBA}[/tex], alors on peut écrire en ajoutant [tex]\alpha[/tex] de chaque côté : [tex]\alpha+\alpha<\widehat{MBA}+\alpha[/tex] soit [tex]2\alpha < \widehat{MBA}+\alpha[/tex]
Or, on sait que [tex]\widehat{MBA}+\alpha=90^\circ[/tex]
D'où en remplaçant l'un par l'autre : [tex]2\alpha<90^\circ[/tex]
Est-ce clair cette fois ?
Minoration et Majoration seront des procédés très utilisés en 1ere S et ES et Term S et ES... ;-)
@+
PS. Je vois que tu as reposé une autre question...
1. Ecrire [tex]\cos2\alpha={\widehat{MOC} \over 2}[/tex] est une horreur, une hérésie mathématique...
On ne peut pas écrire que le cosinus d'un angle (rapport de 2 longueurs) est égal à un angle. Ce sont deux grandeurs différentes comme taille et âge...
2. Dans le triangle MOC, rectangle en C, le cosinus de [tex]\widehat{MOC}[/tex] est égal au rapport du côté Adjacent sur l'Hypoténuse (qui est le rayon du cercle et qui vaut 1)...
Commence par écrire ce rapport sous forme littérale...
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