Forum de mathématiques - Bibm@th.net

valooo2

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Logarithme et exponentielle ? [Résolu]

Bonjour,

Je potasse des annales de concours d'entrée en orthophonie (programme de terminale donc). On me demande de trouver x tel que x^4=4x. Et je sèche...
Est-ce que vous pouvez m'aider ?...
Merci beaucoup,

yoshi

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Re : Logarithme et exponentielle ? [Résolu]

Bonjour valoo2,

Er bienvenue sur BibMath...
Grâce au petit bouton "Insérer une équation", ici on peut facilement écrire des maths qui ressemblent à des maths, la preuve :
[tex]x^4=x\Leftrightarrow x^4-x=0[/tex]
Mise en facteur de x et apparition de l'identité remarquable  différence de 2 cubes qu'on factorise également :
[tex]x^4=x\Leftrightarrow x(x^3-1)=0 \Leftrightarrow x(x-1)(x^2+x+1)=0[/tex]
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul, donc :
[tex]x = 0\;\;\text{ou}\;\;x-1=0\;\;\text{ou}\;\;x^2+x+1=0[/tex]
[tex]x^2+x+1=\left(x+{1 \over 2}\right)^2+{3 \over 4}[/tex]  n'est jamais nul...
Ton équation a donc 2 solutions x = 0 et x = 1.
(On pouvait quand même s'en douter)

@+

Fred

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Re : Logarithme et exponentielle ? [Résolu]

Bonjour,

  Je crois que Yoshi a oublié un 4 devant le x. Cela dit, sa méthode fonctionne :
[tex]x^4=4x\iff x^4-4x=0\iff x(x^3-4)=0[/tex]
Maintenant, la fonction [tex]x\mapsto x^3-4[/tex] est croissante sur R, et l'équation
[tex]x^3-4=0[/tex] n'admet qu'une seule solution qui est [tex]\sqrt[3]{4}[/tex].

Fred.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Logarithme et exponentielle ? [Résolu]

Re,

Exact, Fred = oeil de lynx...

@+

valooo2

Membre

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Re : Logarithme et exponentielle ? [Résolu]

Effectivement, je me prenais un peu la tête... Merci beaucoup !

cléopatre

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Re : Logarithme et exponentielle ? [Résolu]

Pour chipoter un peu, la croissance ne suffit pas, il faut la croissance stricte et la coninuité pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, mais bien entendu nous avons ces hypothèses vérifiées dans ce cas. Désolé, je chipote..

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (20-12-2008 14:00:07)